Hüllenoperator < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $f\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X)$ [/mm] eine Abb. des System aller Teilmengen von X in sich mit den folgenden Eigenschaften:
(i) [mm] $\overline{\emptyset}=\emptyset$
[/mm]
(ii) [mm] $\forall~A\subseteq [/mm] X$ ist [mm] $A\subseteq\overline{A}$
[/mm]
(iii) [mm] $\forall~A\subseteq [/mm] X$ ist [mm] $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
[/mm]
(iv) [mm] $\forall~A,B\subseteq [/mm] X: [mm] \overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cup\overline{B}$
[/mm]
Eine solche Abbildung heißt Hüllenoperator.
Zeigen Sie, daß auf X eine eindeutig bestimmte Topologie existiert, sodaß [mm] $\overline{A}$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq [/mm] X$ die abgeschlossene Hülle von A in dieser Topologie ist. |
Moin, moin!
Mir ist klar, daß ich einmal die Eindeutigkeit und einmal die Existenz zeigen muss.
Aber ich verstehe nicht so genau, wofür ich das zeigen muss.
Für eine Topologie, in der für alle Teilmengen A von X gilt, daß [mm] $\overline{A}$ [/mm] der Abschluss von A ist?
Aber wie ist das gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich versuche , Dir zu erklären, wie es gemeint ist (ohne die Querstriche).
Durch die Abb. f wird jeder Teilmenge A von X eine weitere Teilmenge f(A) von X zugeordnet mit den Eigenschaften:
(i)$ f(\emptyset)=\emptyset $
(ii) $ \forall~A\subseteq X $ ist $ A\subseteq f(A)} $
(iii) $ \forall~A\subseteq X $ ist $ f(f(A)=f(A) $
(iv) $ \forall~A,B\subseteq X: f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) $
Du sollst nun zeigen: auf X gibt es genau eine Topologie \tau mit:
für jedes A \subseteq X ist f(A) die bezüglich \tau abgeschlossene Hülle von A.
( Zur Motivation: in einem top. Raum Y gilt für eine Teilmenge B von Y:
B ist offen \gdw Y \ B ist abgeschlossen \gdw $Y \setminus B = \overline{Y \setminus B} $ )
Versuchs also mal mit
$ \tau:=\{ B \subseteq X : f(X \setminus B)= X \setminus B \}$
FRED
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