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Hallo!
Es geht nicht um eine bestimmte Aufgabe sondern darum, dass ich versuche mir Homotopie vorzustellen.
Im Skript heißt es:
Eine Homotopie in X zwischen Kurven [mm] \gamma_{0},\gamma_{1}\in C^{0}([a,b],X) [/mm] ist eine Abbildung [mm] \gamma\in C^{0}([a,b]x[0,1],X) [/mm] mit
[mm] \gamma(.,0)=\gamma_{0} [/mm] und [mm] \gamma(.,1)=\gamma_{1}.
[/mm]
Gilt [mm] \gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)=p [/mm] und [mm] \gamma_{0}(b)=\gamma_{b}(a)=q [/mm] und gibt es eine Homotopie mit [mm] \gamma(a,t)=p, \gamma(b,t)=q \forall t\in[0,1], [/mm] so heißen [mm] \gamma_{0},\gamma_{1} [/mm] homotop in X mit festen Endpunkten.
Gilt [mm] \gamma_{0}(a)=\gamma_{0}(b), \gamma_{1}(a)=\gamma_{1}(b) [/mm] und es gibt eine Homotopie mit [mm] \gamma(a,t)=\gamma(b,t) \forall t\in[0,1], [/mm] so heißen [mm] \gamma_{0},\gamma_{1} [/mm] in X geschlossen homotop.
Nur um es mir bildlich vorstellen zu können:
Eine Homotopie ist also in diesem Fall einfach eine stetige Deformation zwischen zwei Kurven.
Wenn zwei Kurven homotop mit festen Endpunkten sind, heißt das, dass sich während der Deformation weder der Anfangs- noch der Endpunkt verändern, da diese schon von vornherein die gleichen von [mm] \gamma_{0},\gamma_{1} [/mm] sind.
Wenn zwei Kurven geschlossen homotop sind, gibt es insgesamt nur einen Anfangs- und Endpunkt, der beiden Kurven "gehört".
Könnte man dann sagen, dass geschlossen homotope Kurven homotop mit festen Endpunkten sind, bei denen Anfangspunkt p = Endpunkt q?
Kann mir jemand sagen, ob ich das richtig verstanden habe?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 So 19.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lily!
> Hallo!
> Es geht nicht um eine bestimmte Aufgabe sondern darum,
> dass ich versuche mir Homotopie vorzustellen.
> Im Skript heißt es:
>
> Eine Homotopie in X zwischen Kurven
> [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}\in C^{0}([a,b],X)[/mm] ist eine Abbildung
> [mm]\gamma\in C^{0}([a,b]x[0,1],X)[/mm] mit
> [mm]\gamma(.,0)=\gamma_{0}[/mm] und [mm]\gamma(.,1)=\gamma_{1}.[/mm]
>
> Gilt [mm]\gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)=p[/mm] und
> [mm]\gamma_{0}(b)=\gamma_{b}(a)=q[/mm] und gibt es eine Homotopie
> mit [mm]\gamma(a,t)=p, \gamma(b,t)=q \forall t\in[0,1],[/mm] so
> heißen [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}[/mm] homotop in X mit festen
> Endpunkten.
>
> Gilt [mm]\gamma_{0}(a)=\gamma_{0}(b), \gamma_{1}(a)=\gamma_{1}(b)[/mm]
> und es gibt eine Homotopie mit [mm]\gamma(a,t)=\gamma(b,t) \forall t\in[0,1],[/mm]
> so heißen [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}[/mm] in X geschlossen homotop.
>
>
> Nur um es mir bildlich vorstellen zu können:
> Eine Homotopie ist also in diesem Fall einfach eine
> stetige Deformation zwischen zwei Kurven.
Ja.
> Wenn zwei Kurven homotop mit festen Endpunkten sind,
> heißt das, dass sich während der Deformation weder der
> Anfangs- noch der Endpunkt verändern, da diese schon von
> vornherein die gleichen von [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}[/mm] sind.
Richtig.
> Wenn zwei Kurven geschlossen homotop sind, gibt es
> insgesamt nur einen Anfangs- und Endpunkt, der beiden
> Kurven "gehört".
Nein, es gibt für jede der beiden Kurven jeweils einen Anfangs- und Endpunkt, denn diese Punkte können für die beiden Kurven unterschiedlich sein.
> Könnte man dann sagen, dass geschlossen homotope Kurven
> homotop mit festen Endpunkten sind, bei denen Anfangspunkt
> p = Endpunkt q?
Nein, das wäre ein Spezialfall der obigen Homotopie. Die Anfangs- und Endpunkte, also die Punkte [mm]\gamma(a,t)=\gamma(b,t) \forall t\in[0,1][/mm] können für jedes t andere Punkte sein.
Beispiel: Sei [mm] $\gamma(\cdot,0)$ [/mm] ein Kreis vom Radius 1 um den Ursprung der Ebene, [mm] $\gamma(\cdot,1)$ [/mm] ein Kreis vom Radius 2 um den Ursprung. Diese beiden Kreise sind geschlossen homotop, z.B. mit der Homotopie
[mm] \gamma\in C^{0}([0,2\pi]\times[0,1],\IR^2)[/mm], [mm]\gamma(x,t) = \vektor{(1+t)\cos x\\(1+t)\sin x}[/mm] .
Das ist aber nur eine mögliche Homotopie, eine andere könnte sein
[mm] \gamma\in C^{0}([0,2\pi]\times[0,1],\IR^2)[/mm], [mm] \gamma(x,t) = \vektor{(1+t)\cos (x+t)\\(1+t)\sin (x+t)}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Danke erstmal 
Also liegen die Kurven, wenn sie geschlossen homotop sind, ineinander oder müssen sie sich nur schneiden?
Oder wie kann ich mir das vorstellen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 20.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, sie müssen sich weder schneiden, noch ineinander liegen, sie müssen nur beide geschlossen sein. in der Def. ist doch nirgends von gemeinsamen Punkten von [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] die Rede, es ist aber auch nicht ausgeschlossen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
achso, ich dachte, da die beiden Kurven in Verbindung zueinander gesetzt werden, dass sie vllt (wie bei "homotop mit festen Endpunkten") eine bestimmte Beziehung zueinander hätten...
Danke
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