Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Für welche a [mm] \in \IR [/mm] gibt es [mm] \Phi \in Hom_{\IR}(\IR^2,\IR^3) [/mm] mit
[mm] \Phi(\vektor{1 \\ 1})=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \Phi(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \Phi(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{a \\ 3 \\ 3} [/mm] |
Hallo!
Ich bin gerade leicht überfordert ... kann mir jemand versuchen die Aufgabenstellung etwas näher zu bringen??
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Eine Lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt, wenn man definiert wie sie auf einer Basis wirkt. In diesem Beipsiel bilden die Vektoren $(1,1)$ und $(1,2)$ ja bereits eine Basis von [mm] $\IR^2$, [/mm] d.h. [mm] $\Phi$ [/mm] ist durch die ersten beiden Bedingungen bereits festgelegt. Finde nun die Linearkombination [mm] $(2,1)=\lambda_1(1,1)+\lambda_2(1,2)$. [/mm] Da [mm] $\Phi$ [/mm] linear ist, muss dann gelten [mm] $(a,3,3)=\Phi(2,1)=\lambda_1\Phi(1,1)+\lambda_2\Phi(1,2)$. [/mm] Damit bekommst du das gesuchte $a$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Dann wäre [mm] \lambda_{1}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-1 [/mm] ... nur wie komme ich dann auf das a? Hier konnte ich dir leider nicht ganz folgen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 04.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Dann wäre [mm]\lambda_{1}=3[/mm] und [mm]\lambda_{2}=-1[/mm] ... nur wie
> komme ich dann auf das a? Hier konnte ich dir leider nicht ganz folgen
Da [mm] $\Phi$ [/mm] linear ist, muss dann gelten [mm] $(a,3,3)=\Phi(2,1)=\lambda_1\Phi(1,1)+\lambda_2\Phi(1,2)=3\cdot(1,1,1)-1\cdot(1,0,0)=(2,3,3)$, [/mm] also $a=2$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ok ... ich hatte gedacht, das ist zu einfach :D
nur ist ja gefragt: für welchE a [mm] \in \IR [/mm] ... also müsste es doch mehrere a's geben, oder?
Vielen Dank :)
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> ok ... ich hatte gedacht, das ist zu einfach :D
> nur ist ja gefragt: für welchE a [mm]\in \IR[/mm] ... also müsste
> es doch mehrere a's geben, oder?
>
> Vielen Dank :)
Hallo!
Rein von der Fragestellung hört es sich vielleicht so an, aber es gibt nur ein a. Das haben wir ja gerade eindeutig gezeigt. Mehrere kann auch eins sein 
Und stell' dir mal vor: Wenn es noch ein a gäbe, würde die Lineare Abbildung, welche ja schon durch die Bilder der ersten beiden Vektoren vollständig bestimmt ist, zwei verschiedene Bilder für den dritten Vektor haben - das wäre doch komisch, oder? 
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Das stimmt :)
Vielen Dank
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