Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 03.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi an alle......
Also, ich möchte folgende Aussage beweisen:
[mm] \alpha [/mm] ist ein Homomorphismus von [mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] in [mm] (\IQ_{>0},+) \Rightarrow \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a).
[/mm]
Nun, da das ein relativ neues Thema für mich ist, weiss ich nicht genau wie ich das
zeigen kann. Also, erstmal setzte ich voraus, dass [mm] \alpha [/mm] ein Homomorphismus von [mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] in
[mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] ist. D. h., [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in\IQ_{>0} [/mm] gilt: [mm] \alpha(a+b)=\alpha(a)+\alpha(b). [/mm] Das würde [mm] \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0} [/mm] dann ja
auch glten, da [mm] \IN \subseteq \IQ_{>0}. [/mm] Also: [mm] \alpha(a+n)=\alpha(a)+\alpha(n). [/mm] Aber hilft mir das
hier überhaupt weiter? Auf welchem Wege kann ich nun zeigen, dass dann
[mm] \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a) [/mm] gilt?
Danke
MFG
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> ich möchte folgende Aussage beweisen:
>
> [mm]\alpha[/mm] ist ein Homomorphismus von [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] in
> [mm](\IQ_{>0},+) \Rightarrow \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a).[/mm]
Hallo,
wir haben als Grundmenge [mm] \IQ_{>0} [/mm] zusammen mit der Addition zur Verfügung.
Zunächst einmal sollten wir uns darüber Rechenschaft ablegen, was überhaupt mit na für [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a\in\IQ_{>0} [/mm] gemeint ist.
Denn innerhalb von [mm] \IQ_{>0} [/mm] steht uns ja gar keine Multiplikation zur Verfügung, denn wir betrachten die Menge ja lediglich mit der Addition.
Des Rätsels Lösung: na ist eine abkürzende Schreibweise für [mm] \underbrace{a+...+a}_{n-{mal}}.
[/mm]
>
> Also, erstmal setzte ich voraus, dass [mm]\alpha[/mm]
> ein Homomorphismus von [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] in
>
> [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] ist.
Genau.
> D. h., [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in\IQ_{>0}[/mm] gilt:
> [mm]\alpha(a+b)=\alpha(a)+\alpha(b).[/mm]
Ja.
[*]
> Das würde [mm]\forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}[/mm]
> dann ja
>
> auch glten, da [mm]\IN \subseteq \IQ_{>0}.[/mm]
Hier kommt ins Spiel, was ich oben schrieb. Dir steht keine Multiplikation in [mm] \IQ [/mm] zur Verfügung.
> [/mm] Also:
> [mm]\alpha(a+n)=\alpha(a)+\alpha(n).[/mm]
[mm] an\not=a+n.
[/mm]
Gehen wir nach diesem Intermezzo zurück zu
[*].
Wir müssen nun überlegen, was zu zeigen ist. Nachdem geklärt ist, was sich hinter na verbirgt, ist das nicht schwer.
Zu zeigen ist [mm] \alpha(an)=(\alpha(\underbrace{a+...+a}_{n-{mal}}))=n\alpha(a)=(\underbrace{\alpha(a)+...+\alpha(a)}_{n-{mal}}).
[/mm]
Ich hoffe, Du siehst nun klarer, worum es geht.
Tip: Du kannst das bequem mit vollständiger Induktion zeigen.
Gruß v. Angela
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