Homomorphismus < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 07.11.2006 | | Autor: | Joli1985 |
| Aufgabe | | Gibt es einen Surjektiven Homomorphismus der additiven Gruppe (Z,+) auf eine Gruppe (G,.),so ist G zyklisch,Beweis? |
Ich habe ein Problem mit dem Begriff "surjektiver Homomorphismus" ,ich habe zwar eine Vorstellung was ein Homomorphismus ist,nur weiß ich nicht so genau was ein surjektiver Homomorphismus bedeutet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Gibt es einen Surjektiven Homomorphismus der additiven
> Gruppe (Z,+) auf eine Gruppe (G,.),so ist G
> zyklisch,Beweis?
> Ich habe ein Problem mit dem Begriff "surjektiver
> Homomorphismus" ,ich habe zwar eine Vorstellung was ein
> Homomorphismus ist,nur weiß ich nicht so genau was ein
> surjektiver Homomorphismus bedeutet.
Respekt, was alles heutzutage in der Schule gemacht wird (oder handelt es sich doch um eine Frage aus der Uni?).
Es gibt also eine surjektive homomorphe Abbildung [mm] $\alpha$
[/mm]
[mm] $\alpha:\ (\IZ,+)\to (G,\cdot)$
[/mm]
(Eine surjektive homomorphe Abbildung heißt übrigens auch kurz "Epimorphismus")
Surjektiv bedeutet einfach, dass jedes Element aus der Zielmenge [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] durch die Abb. "getroffen" wird.
Man sagt auch, jedes Element aus der Zielmenge hat mindestens ein Urbild.
Nun sollst Du zeigen, dass [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] zyklisch ist.
Dafür ist zu zeigen, dass ein erzeugendes Element [mm] $x\in [/mm] G$ existiert, so dass für alle Elemente [mm] $g\in [/mm] G$ gilt: Es existiert ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $x^n=g$.
[/mm]
(Jedes Element g ist also eine Potenz des erzeugenden Elementes x).
Dies ist der Ansatz zu Deinem Beweis. Du kannst die Homomorphismus-Eigenschaft von [mm] $\alpha$ [/mm] ausnutzen, um die Zyklizität von [mm] $\IZ$ [/mm] auf $G$ zu übertragen.
Versuch' das mal.
Grüße, Frusciante
|
|
|
|
