Homomorphismen (Z,+)->(Z,+) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Fr 24.10.2008 | | Autor: | suzan_7 |
| Aufgabe | | Beschreibe alle Homomorphismen y:(Z,+)->(Z,+) und gib an welche injektiv, surjektiv und welche Isomorphismen sind. |
Hallo,
also ich hab mir zu obengenannter Fragestellung schon folgendes überlegt:
man kann ja jede abbildung auf die folgende führen.
jedes nZ kann wie folgt abgebildet werden:
y(n)=y(n*1)=ny(1)
und somit muss ich dann nur noch eine abbildungsvorschrift für die 1 festlegen. stimmt das soweit?
also für n>0 kann ich das auch begründen:
y(n) = y(1+1+...1) [das ganze n-mal] und somit erhalte ich dann
y(1+1...1)=ny(1)
ist diese Folgerung richtig??
und wenn ja wie kann ich das für n<0 zeigen??
ich freue mich über eine antwort. ob meine überlegungen soweit passen.
wenn ja, würde ich auch noch gerne meine weiteren überlegungen mit jemanden besprechen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo suzan,
deine Überlegungen sind so weit ganz gut : ). Hast Recht, man muss noch y(1) definieren. Also z.B. kannst du schreiben:
Definiere [mm] y_{x}: \IZ \to \IZ
[/mm]
[mm] n\mapsto(n*x) (x\in \IZ [/mm] fest,aber beliebig)
Damit ist klar: [mm] y_{x}(1)=x
[/mm]
Du müsstest aber noch zeigen, dass y aber überhaupt ein Gruppenhomomorphismus ist, also auf diese Situation bezogen:
[mm] y_{x}(a+b)=y_{x}(a)+y_{x}(b) [/mm] für alle [mm] a,b\in \IZ
[/mm]
Das ist hier ja ziemlich einfach. Für jedes [mm] x\in\IZ [/mm] gibt es also einen Gruppenhomomorphismus [mm] y_{x}
[/mm]
Für negative Werte definiert man sich allgemein:
[mm] y_{x}(-m)=y_{x}((-1)+....(-1))=m*y_{x}(-1)=m*(-1*x)=-mx
[/mm]
Um zu zeigen, dass dies auch wirklich alle sind: Wenn also [mm] \phi [/mm] ein beliebiger Homorphismus von Z nach Z ist, dann muss gelten: [mm] \phi=y_{x} [/mm] bzw es muss ein [mm] x\in\IZ [/mm] mit [mm] \phi=y_{x} [/mm] exisitieren. Dazu kann ich z.B. einfach alle möglichen Werte aus [mm] \IZ [/mm] in die Homomorphismen [mm] \phi [/mm] und [mm] y_{x} [/mm] einsetzen und schauen, ob die Funktionswerte identisch sind.
Beweis: Sei [mm] \phi(1):=x
[/mm]
[mm] \phi(0)=0=b*0=y_{x}(0) [/mm]
[mm] \phi(-1)=-b=b*(-1)=y_{x}(-1)
[/mm]
[mm] \phi(m)=\phi(m*1)=\phi(1+....+1)=m*\phi(1)=m*x=y_{x}(m)
[/mm]
[mm] \phi(-m)=\phi((-1)+(-1)+....+(-1))=m*\phi(-1)=m*(-x)=y_{x}(-1)
[/mm]
Bzgl. Bijektivität der [mm] y_{x} [/mm] bin ich mir nicht so sicher. Also sei
y(n)=n*x. Dann finde ich stets eine Zahl [mm] \in\IZ, [/mm] die nicht von x geteilt wird, es sei denn x=1.bzw -1. Sei also z.B. y(n)=n*3. Dann existiert kein [mm] n\in\IZ [/mm] mit 7=n*3 (7 gebe ich hier vor) und damit ist y nicht surjektiv.
Nur die Abbildungen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{-1} [/mm] sind surjektiv.
Weiß vielleicht jemand, wie man das richtig beweisen kann ?
Nun zur Injektivität: Sei [mm] y_{x}(n)=y_{x}(m) [/mm] mit [mm] n,m\in \IZ
[/mm]
n*x=m*x | durch x teilen bzw von rechts mit [mm] x^{-1} [/mm] multiplizieren
n=m
Also sind alle [mm] y_{x} [/mm] injektiv.
Gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 25.10.2008 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo, vielen dank für deine ausführliche antwort. leider hab ich aber immernoch nicht alles verstanden. ich hoffe du kannst mir nochmal weiterhelfen. ich habe versucht die fragen -im text- entsprechend zu stellen.
DANKE
ich denke dass ich einfach irgendwo ein bisschen auf dem schlauch steh. und vllt. einfach nur ne andere formulierung o.ä. brauche.
> Hallo suzan,
>
> deine Überlegungen sind so weit ganz gut : ). Hast Recht,
> man muss noch y(1) definieren. Also z.B. kannst du
> schreiben:
> Definiere [mm]y_{x}: \IZ \to \IZ[/mm]
> [mm]n\mapsto(n*x) (x\in \IZ[/mm]
> fest,aber beliebig)
>
> Damit ist klar: [mm]y_{x}(1)=x[/mm]
>
> Du müsstest aber noch zeigen, dass y aber überhaupt ein
> Gruppenhomomorphismus ist, also auf diese Situation
> bezogen:
> [mm]y_{x}(a+b)=y_{x}(a)+y_{x}(b)[/mm] für alle [mm]a,b\in \IZ[/mm]
> Das ist
> hier ja ziemlich einfach. Für jedes [mm]x\in\IZ[/mm] gibt es also
> einen Gruppenhomomorphismus [mm]y_{x}[/mm]
>
> Für negative Werte definiert man sich allgemein:
> [mm]y_{x}(-m)=y_{x}((-1)+....(-1))=m*y_{x}(-1)=m*(-1*x)=-mx[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass dies auch wirklich alle sind: Wenn also
> [mm]\phi[/mm] ein beliebiger Homorphismus von Z nach Z ist, dann
> muss gelten: [mm]\phi=y_{x}[/mm] bzw es muss ein [mm]x\in\IZ[/mm] mit
> [mm]\phi=y_{x}[/mm] exisitieren. Dazu kann ich z.B. einfach alle
> möglichen Werte aus [mm]\IZ[/mm] in die Homomorphismen [mm]\phi[/mm] und
> [mm]y_{x}[/mm] einsetzen und schauen, ob die Funktionswerte
> identisch sind.
>dieser Schritt ist mir leider nicht klar. wie beweiß ich hiermit das ich alle hormomorphismen habe??
> Beweis: Sei [mm]\phi(1):=x[/mm]
>
> [mm]\phi(0)=0=b*0=y_{x}(0)[/mm]
> [mm]\phi(-1)=-b=b*(-1)=y_{x}(-1)[/mm]
> [mm]\phi(m)=\phi(m*1)=\phi(1+....+1)=m*\phi(1)=m*x=y_{x}(m)[/mm]
>
> [mm]\phi(-m)=\phi((-1)+(-1)+....+(-1))=m*\phi(-1)=m*(-x)=y_{x}(-1)[/mm]
>
> du unterscheidest hier phi und y-warum? ist mir leider nicht so klar
> Bzgl. Bijektivität der [mm]y_{x}[/mm] bin ich mir nicht so sicher.
> Also sei
> y(n)=n*x. Dann finde ich stets eine Zahl [mm]\in\IZ,[/mm] die nicht
> von x geteilt wird, es sei denn x=1.bzw -1. Sei also z.B.
> y(n)=n*3. Dann existiert kein [mm]n\in\IZ[/mm] mit 7=n*3 (7 gebe ich
> hier vor) und damit ist y nicht surjektiv.
auch diesen beweis finde ich ein wenig verwirrend. warum willst du hier eine zahl finden die durch x geteilt wird?
> Nur die Abbildungen [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{-1}[/mm] sind surjektiv.
>
kannst du nochmal die zwei abbildungen genau beschreiben? mir ist wohl noch nicht klar was du mit dem 1/-1 meinst. oder ich versteh nur bahnhof. sorry
> Weiß vielleicht jemand, wie man das richtig beweisen kann
> ?
>
> Nun zur Injektivität: Sei [mm]y_{x}(n)=y_{x}(m)[/mm] mit [mm]n,m\in \IZ[/mm]
>
> n*x=m*x | durch x teilen bzw von rechts mit [mm]x^{-1}[/mm]
> multiplizieren
> n=m
>
> Also sind alle [mm]y_{x}[/mm] injektiv.
>
> Gruß
> Christian
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
> > Definiere [mm]y_{x}: \IZ \to \IZ[/mm]
> > [mm]n\mapsto(n*x) (x\in \IZ[/mm]
> > fest,aber beliebig)
> >
> > Damit ist klar: [mm]y_{x}(1)=x[/mm]
Hier nochmal zur Verdeutlichung: Das x ist ein feste Zahl, steht als Platzhalter für diese Zahl. D.h. [mm] y_{x} [/mm] ist der Ringhomomorphismus mit
der Abb: [mm]n\mapsto(n*x) [/mm] oder anders geschrieben: [mm] y_{x}(n)=n*x
[/mm]
Es gibt somit unendlich viele von diesen, ich kann ja jede beliebige Zahl aus [mm] \IZ [/mm] einsetzen. Also z.B. auch x=1 oder x=-1, das sind dann die Homomorphismen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{-1}
[/mm]
> > Um zu zeigen, dass dies auch wirklich alle sind: Wenn also
> > [mm]\phi[/mm] ein beliebiger Homorphismus von Z nach Z ist, dann
> > muss gelten: [mm]\phi=y_{x}[/mm] bzw es muss ein [mm]x\in\IZ[/mm] mit
> > [mm]\phi=y_{x}[/mm] exisitieren. Dazu kann ich z.B. einfach alle
> > möglichen Werte aus [mm]\IZ[/mm] in die Homomorphismen [mm]\phi[/mm] und
> > [mm]y_{x}[/mm] einsetzen und schauen, ob die Funktionswerte
> > identisch sind.
>
> >dieser Schritt ist mir leider nicht klar. wie beweiß ich
> hiermit das ich alle hormomorphismen habe??
Also nochmal das Prinzip: Wir gehen beim Beweis erstmal davon aus,dass es neben den [mm] y_{x} [/mm] noch andere Homomorphismen von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] gibt.
Jetzt schau ich mir einen dieser Homorphismen stellvertretend für alle an und gib ihm den Namen [mm] \phi. [/mm] Jeder dieser Homomorphismus definiert sich über den Funktionswert von 1, also [mm] \phi(1). [/mm] Diesen muss ich also noch festlegen, z.B. kann ich einfach definieren [mm] \phi(1)=x, [/mm] wobei man hier bewusst x als Zahlenwert nimmt. Nun mache ich folgendes:ICh zeige, dass diese Fkt [mm] \phi [/mm] mit der Fkt [mm] y_{x} [/mm] übereinstimmt ! Wie kann ich das machen?
Z.B. kann ich alle möglichen Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] in [mm] \phi [/mm] einsetzen und dann schauen, was rauskommt bzw. man formt dann so um, dass man sieht, dass der Funktionswert von [mm] \phi [/mm] an der Stelle n(also irgendne Zahl) mit dem Funktionswert von [mm] \y_{x} [/mm] an der Stelle n übereinstimmt.
Also anstatt ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... in [mm] \phi [/mm] einzusetzen, schau ich mir einfach nur [mm] \phi(0), \phi(m). \phi(-m) [/mm] an, wobei m irgendein positive Zahl ist.
Damit erfasse ich alle Zahlen aus [mm] \IZ.
[/mm]
> > Beweis: Sei [mm]\phi(1):=x[/mm]
> >
> > [mm]\phi(0)=0=b*0=y_{x}(0)[/mm]
> > [mm]\phi(-1)=-b=b*(-1)=y_{x}(-1)[/mm]
> >
> [mm]\phi(m)=\phi(m*1)=\phi(1+....+1)=m*\phi(1)=m*x=y_{x}(m)[/mm]
> >
> >
> [mm]\phi(-m)=\phi((-1)+(-1)+....+(-1))=m*\phi(-1)=m*(-x)=y_{x}(-1)[/mm]
> >
> > du unterscheidest hier phi und y-warum? ist mir leider
> nicht so klar
>
> > Bzgl. Bijektivität der [mm]y_{x}[/mm] bin ich mir nicht so sicher.
> > Also sei
> > y(n)=n*x. Dann finde ich stets eine Zahl [mm]\in\IZ,[/mm] die
> nicht
> > von x geteilt wird, es sei denn x=1.bzw -1. Sei also z.B.
> > y(n)=n*3. Dann existiert kein [mm]n\in\IZ[/mm] mit 7=n*3 (7 gebe ich
> > hier vor) und damit ist y nicht surjektiv.
> auch diesen beweis finde ich ein wenig verwirrend. warum
> willst du hier eine zahl finden die durch x geteilt wird?
Also entsprechend der Definiton ist eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B surjektiv gdw. für alle [mm] y\in [/mm] B ein [mm] x\in [/mm] A existiert mit f(x)=y.
Ich hab jetzt gezeigt, dass nur für die Abb. [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{-1} [/mm] gilt.
Betrachte z.B. [mm] y_{4}=4*n. [/mm] Dann müsste für jedes [mm] y\in\IZ [/mm] ein [mm] x\in\IZ [/mm] exisiteren so, dass 4*n=y. Hier sieht man, dass y ein Vielfaches von 4 sein muss, ansonsten kann ich nicht auf y abbilden. z.B. existiert zu 9 kein x mit 4*n=9, denn 9 ist kein Vielfaches von 4 bzw mit anderen Worten:
4 teilt nicht 9.
Hingegen ist [mm] y_{1} [/mm] surjektiv, denn wenn ich mir z.B. 9 als y-Wert vorgebe,
dann ist 1*9=9, also f(9)=9. Allgemein gilt ja [mm] y_{1}(n)=n.
[/mm]
>
> > Nur die Abbildungen [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{-1}[/mm] sind surjektiv.
>
> kannst du nochmal die zwei abbildungen genau beschreiben?
> mir ist wohl noch nicht klar was du mit dem 1/-1 meinst.
> oder ich versteh nur bahnhof. sorry
>
> > Weiß vielleicht jemand, wie man das richtig beweisen kann
> > ?
> >
> > Nun zur Injektivität: Sei [mm]y_{x}(n)=y_{x}(m)[/mm] mit [mm]n,m\in \IZ[/mm]
>
> >
> > n*x=m*x | durch x teilen bzw von rechts mit [mm]x^{-1}[/mm]
> > multiplizieren
> > n=m
> >
> > Also sind alle [mm]y_{x}[/mm] injektiv.
> >
> > Gruß
> > Christian
> >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 25.10.2008 | | Autor: | suzan_7 |
hi also nochmals dankeschln für die sehr ausführliche antwort. ich versuch sie gerade so häppchenweise zu verarbeiten 
nur nochmal ne kurze frage zur notation.
du schreibst (bei deinem beweis, bei dem zu schreibst, dass die funktion alle hom. beschreibt)
phi(0)=0=0*b= y(0)
und
phi(-1)=-b=b(-1)=y(-1)
woher kommt jetzt dieses b? und woher nimmst du wie phi(-1) definiert ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
Upps, da ich mich vertan...überall, wo ein b steht, muss ein x hin ; )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Sa 25.10.2008 | | Autor: | suzan_7 |
ok danke
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 25.10.2008 | | Autor: | suzan_7 |
Hey weißt du was eigentlich mit [mm] y_{0}(n) [/mm] ist?
surjektiv wohl nicht. da ich nicht jedes Element der Bildmenge erwische.
injektiv wohl auch nicht, oder?
denn
[mm] y_{0}(x1)=y_{0}_(x2)
[/mm]
auch wenn [mm] x2\not=x1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Fry |
s.u.
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![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
vollkommen richtig. Die Abb. [mm] y_{0} [/mm] ist auch nicht injektiv, dazu ein Gegenbeispiel: [mm] y_{0}(2)=0=y_{0}(3), [/mm] aber [mm] 2\not= [/mm] 3
