Homomorphiesatz für Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 22.02.2014 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Homomorphiesatz für Gruppen:
Sei [mm] \varphi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, sei N Normalteiler von G und N [mm] \subset ker(\varphi) [/mm] und sei [mm] \pi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G/N die Quotientenabbildung. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus [mm] \overline{\varphi}: [/mm] G/N [mm] \to [/mm] H mit [mm] \overline{\varphi} [/mm] o [mm] \pi [/mm] = [mm] \varphi. [/mm] |
Meine Fragen beziehen sich auf die obige Version des Homomorphiesatzes für Gruppen.
Im Beweis dazu ist als erster Schritt, dass [mm] N=ker(\varphi) [/mm] gilt, mit der Begründung "das ist klar". Mir ist das leider nicht klar. Ich weiß, dass jeder Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist. Ich weiß, dass [mm] ker(\pi) [/mm] = N ist. Ich weiß, dass [mm] ker(\overline{\varphi}) [/mm] = [mm] ker(\varphi)/N [/mm] ist. nach Voraussetzung ist N [mm] \subset ker(\varphi). [/mm] Warum ist allerdings dann [mm] ker(\varphi) \subset [/mm] N ???
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
Lg moerni
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Hallo,
> Homomorphiesatz für Gruppen:
> Sei [mm]\varphi:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, sei N
> Normalteiler von G und N [mm]\subset ker(\varphi)[/mm] und sei [mm]\pi:[/mm]
> G [mm]\to[/mm] G/N die Quotientenabbildung. Dann gibt es einen
> eindeutig bestimmten Homomorphismus [mm]\overline{\varphi}:[/mm] G/N
> [mm]\to[/mm] H mit [mm]\overline{\varphi}[/mm] o [mm]\pi[/mm] = [mm]\varphi.[/mm]
> Meine Fragen beziehen sich auf die obige Version des
> Homomorphiesatzes für Gruppen.
>
> Im Beweis dazu ist als erster Schritt, dass [mm]N=ker(\varphi)[/mm]
> gilt, mit der Begründung "das ist klar". Mir ist das
> leider nicht klar.
Es ist auch gut, dass dir das nicht klar ist. Es ist schlicht falsch.
Nimm [mm] $\varphi=0$ [/mm] und N irgendeinen echten Normalteiler von G.
Ich vermute, da soll [mm] $\ker{\pi}=N$ [/mm] stehen.
> Ich weiß, dass jeder Kern eines
> Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist. Ich weiß, dass
> [mm]ker(\pi)[/mm] = N ist. Ich weiß, dass [mm]ker(\overline{\varphi})[/mm] =
> [mm]ker(\varphi)/N[/mm] ist. nach Voraussetzung ist N [mm]\subset ker(\varphi).[/mm]
> Warum ist allerdings dann [mm]ker(\varphi) \subset[/mm] N ???
>
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
>
> Lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 22.02.2014 | | Autor: | moerni |
Oh. Aha. Das kann gut sein. Vielen Dank 
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