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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
| Aufgabe | Sei G eine zyklische Gruppe mit |G| = n. Man zeige:
G [mm] \cong \IZ/n\IZ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, ich hoffe mal ich hab alles richtig gemacht, wenn nicht entschuldigung, ich bemühe mich es das nächste Mal besser zu machen;)
Stehe vor dem letzten Prüfungsblock meines Hauptdiploms und nächste Woche steht Algebra ins Haus. Trotz bisher 2,5 Wochen lernen fehlt mir einfach der Durchblick, obwohl die Aufgaben eigentlich sehr nett gestellt sind. Ich hoffe Ihr könnt zu meiner Erleuchtung beitragen.
Sicherlich hat diese Aufgabe wieder etwas mit dem Homomorphiesatz zu tun, nur weiß ich nicht so genau was wo in das Kommutierende Dreieck muss. Also meine erste Idee war [mm] \phi [/mm] bildet von [mm] \IZ [/mm] auf G ab und [mm] \pi [/mm] von [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IZ/n\IZ. [/mm] Dann müsste ich "nur noch" zeigen, dass [mm] \phi [/mm] ein homomorphismus ist und [mm] n\IZ [/mm] = [mm] ker(\phi).
[/mm]
Ein anderer Ansatz wäre: [mm] \phi: [/mm] G [mm] \to \IZ/n\IZ [/mm] und [mm] \pi: [/mm] G [mm] \to G/ker(\phi), [/mm] den habe ich am Rand meiner Notizen entdeckt, aber ich weiß nicht mal wie man auf den Ansatz kommt.
Ich hoffe einer kann Licht in mein Dunkel bringen...
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> Sei G eine zyklische Gruppe mit |G| = n. Man zeige:
> G [mm]\cong \IZ/n\IZ[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Sache würde ich ganz simpel angehen.
Wenn G zyklisch ist, gibt es ein erzeugendes Element g mit <g>=G.
Ein Gruppenhomomorphismus ist durch die Angabe der Werte auf einem Erzeugendensystem eindeutig bestimmt.
Jetzt betrachte den durch [mm] f(g):=\overline{1} [/mm] gegebenen Homomorphismus und zeige, daß er injektiv (kernf=Null) und surjektiv ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
> Hallo,
> .
Danke!
> Jetzt betrachte den durch [mm] f(g):=\overline{1} [/mm] gegebenen
> Homomorphismus und zeige, daß er injektiv
> (kernf=Null) und surjektiv ist.
f bildet nach [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ab, oder?
Hä?!
Sorry, aber wenn [mm] f(g):=\overline{1}, [/mm] ist dann nicht g [mm] \in [/mm] ker(f) und damit auch alle anderen Elemente aus G? Wo ist mein Denkfehler.
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> f bildet nach [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ab, oder?
Ja.
>
> Hä?!
> Sorry, aber wenn [mm]f(g):=\overline{1},[/mm] ist dann nicht g [mm]\in[/mm]
> ker(f) und damit auch alle anderen Elemente aus G? Wo ist
> mein Denkfehler.
Ich fürchte, Du verwechselst Bild und Kern...
Was ist eigentlich der Kern einer Abbildung?
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
> Was ist eigentlich der Kern einer Abbildung?
Das sind alle die Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden. Und das ist doch die [mm] \overline{1}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
richtig? oder bin ich schon da auf dem Holzweg?
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>> Was ist eigentlich der Kern einer Abbildung?
> Das sind alle die Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden. Und das ist doch die $ [mm] \overline{1}. [/mm] $
> richtig? oder bin ich schon da auf dem Holzweg?
Jein.
Richtig ist, daß der Kern alle Elemente umfaßt, welche aufs neutrale Element von [mm] \IZ/n\IZ [/mm] abgebildet werden.
Nun muß man sich klarmachen, daß [mm] \IZ/n\IZ [/mm] zusammen mit der Addition eine Gruppe ist und nicht mit der Multiplikation.
Da ist nicht [mm] \overline{1} [/mm] das neutrale Element, sondern [mm] \overline{0.}
[/mm]
[mm] \overline{1} [/mm] hingegen ist das erzeugende Element. Das ist auch der Trick bei meiner Abbildung. Ich bilde das erzeugende der einen zyklischen Gruppe auf ein erzeugendes Element der anderen zyklischen Gruppe ab.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
ahso, ok!
Bei uns war das immer so, dass bei Gruppen [mm] \overline{1} [/mm] das Neutrale Element ist, egal ob additive oder multiplikative Gruppen.
Ich mach mir dann mal weiter Gedanken dazu, aber ich denke mal ich werde erst morgen wieder dazu kommen.
Vielen Dank schonmal.
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> ahso, ok!
>
> Bei uns war das immer so, dass bei Gruppen [mm]\overline{1}[/mm] das
> Neutrale Element ist, egal ob additive oder multiplikative
> Gruppen.
> Ich mach mir dann mal weiter Gedanken dazu, aber ich denke
> mal ich werde erst morgen wieder dazu kommen.
>
> Vielen Dank schonmal.
Hallo,
ganz gewiß war das nicht so.
Die 1 nimmt man für Gruppen, die in der multiplikativen Darstellung sind. (Man bekommt sonst auch Probleme, wenn man Ringe behandelt.)
Nun kannst Du im konkreten Fall leicht klarmachen, daß [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ, [/mm] z.B. [mm] \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ, [/mm] die Restklassen modulo 4, mit der üblicherweise in dieser Menge erklärten Multiplikation kleine Gruppe bilden.
Hingegen sind sie eine Gruppe mit der üblichen Addition voon Restklassen.
Wenn Du Dir nun eine Wertetabelle machst, siehst Du, daß [mm] \overline{0} [/mm] das neutrale Element bzgl der Addition ist. [mm] \overline{1}+\overline{1}=\overline{2} [/mm] und nicht [mm] =\overline{1}.
[/mm]
Es handelt sich ja bei der [mm] \overline{1} [/mm] in (z.B.) [mm] \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ [/mm] nicht um irgendeine Benennung, sondern um eine ganz konkrete Restklasse.
Unsere Gruppe G hingegen ist sehr "vage" gegeben: eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Meist schreibt man die multiplikativ, und meist bezeichnet man das neutrale Element in solchen Gruppen mit 1 oder e.
(G, [mm] *)=\{1,g,g^2,g^3,...,g^{n-1}\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 06.09.2007 | | Autor: | sklemm |
> Unsere Gruppe G hingegen ist sehr "vage" gegeben: eine
> zyklische Gruppe der Ordnung n. Meist schreibt man die
> multiplikativ, und meist bezeichnet man das neutrale
> Element in solchen Gruppen mit 1 oder e.
> (G, [mm]*)=\{1,g,g^2,g^3,...,g^{n-1}\}[/mm]
Du hast recht, so hätte ich es schreiben müssen damit es richtig ist, also bei uns war das neutrale Element in Gruppen immer die [mm] \overline{1}, [/mm] weil wir nur multiplikative Gruppen betrachtet haben. Die 0 kam erst bei den Ringen dazu, weil wir uns erst da über additive Gruppen Gedanken gemacht haben.
Auf jeden Fall war ich deshalb so auf die [mm] \overline{1} [/mm] als neutrales Element eingeschossen und nicht auf die Erzeugende von [mm] \IZ.
[/mm]
Also entschuldige bitte die falsche behauptung, ich mache mir dann morgen nochmal Gedanken dazu und melde mich wieder. Danke und 'nen schönen Abend.
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> Also entschuldige bitte die falsche behauptung,
Hallo,
für Denkfehler mußt Du Dich nicht entschuldigen. Für deren Aufklärung ist doch dieses Forum da.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Mo 10.09.2007 | | Autor: | sklemm |
OK, das Wochenende ist vorrüber, ich hab noch allerhand gerechnet und ich denke ich habs jetzt so weit verstanden. Fühle mich mit dem Homomorphiesatz und den Kommutierenden Diagrammen zwar immernoch nicht wirklich wohl, aber ich denke ich weiß wie ichs anwenden muss.
Also nochmal vielen Dank für die Hilfe.
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