Homogenität und partielle Abl. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | j(x,y)= ln [mm] (\bruch{x}{y})^x
[/mm]
a) Ist die folgende Funktion homogen? Bestimmen Sie ggf. den Homogenitätsgrad.
b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion. |
Hallo, leider konnte ich diese Aufgabe nicht lösen.
Zu a.) Also was die Homogenität anbelangt, kürzt sich das Lambda im Bruch weg, wäre also r=0, aber da ist ja noch das Lambda im Exponenten. Das kann ich doch normalerweise nicht ausklammern. Darum bin ich zunächst davon ausgegangen, die Funktion sei nicht homogen.
Löse ich die Klammer auf, würde sich auch dieses Lambda wegkürzen. Diese Operation käme mir aber sehr komisch vor. Dürfte ich das überhaupt?! Auf diesem Weg hätte ich insgesamt r=0.
Das ist aber auf jeden Fall falsch, denn ich weiss, dass r=1 rauskommen mus. Leider komme ich nicht drauf, warum.
Zu b.) Bei der partiellen Ableitung komme ich leider auch nicht voran.
[mm] \bruch{\partial i}{\partial x}(x,y)=\bruch{1}{(\bruch{x}{y})^x} [/mm] so, und jetzt müsste ich doch die Kettenregel anwenden, würde ich dann mit [mm] x(\bruch{x}{y})*\bruch{1}{y} [/mm] multiplizieren?
Ich danke Euch im Voraus für Eure Tipps und Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 11.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Also, ich kenne die Definition einer homogenen Funktion so:
$f(x,y)$ homogen, wenn es ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^n [/mm] f(x,y)$.
Du hast Recht, die Lambdas im Bruch kürzen sich weg. Aber, gibt es da nicht eine Rechenregel für den Logarithmus, welche gerade für Exponenten im Argument wichtig ist? Schau mal ![[]](/images/popup.gif) da.
Ich jedenfalls bin der Überzeugung, dass [mm] $f(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda y)=\lambda [/mm] f(x,y)$ ist. Rechne das mal nach!
Und zu den partiellen Ableitungen: Leitest du nach x ab, so tust du einfach so, als ob y eine Konstante wäre. Aber wenn du den Logarithmus schön umgeformt hast, wird das etwas einfacher, als der Ausdruck jetzt. Das bekommst du dann schon hin!
Grüße, Harris.
|
|
|
| |
|
Hallo,
zur a.) dann würde ich den Ausdruck ln [mm] (\bruch{x}{y})^x [/mm] umformen zu [mm] xln(\bruch{x}{y}). [/mm] Dann bleibt bei der Homogenitätsprüfung ein Lamda stehen und die zwei im Bruch kürze ich nach wie vor weg. Ist nun meine Umformung korrekt?
Leider kann ich mit Deinem Hinweis für die b.) nicht direkt was anfangen. Nehme ich die gleiche umgeformte Version wie in a.) wird das nichts.
|
|
|
| |
|
Okay, inzwischen habe ich das, bitte um Korrektur ( wenn sich überhaupt einer die Frage ansieht?!?)
Homogenität:
[mm] j(x,y)=ln(\bruch{x}{y})^x= x*ln(\bruch{x}{y})
[/mm]
[mm] j(\lambda x,\lambda y)=\lambda x*ln(\bruch{\lambda x}{\lambda y})
[/mm]
[mm] =\lambda x*ln(\bruch{x}{y})
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] j(x,y)
Somit ist j homogen vom Grad r=1.
Partielle Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial j}{\partial x}(x,y)= 1*ln(\bruch{x}{y})+x*\bruch{y}{xy}
[/mm]
= [mm] ln(\bruch{x}{y})+1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial j}{\partial y}(x,y)= x*ln(\bruch{x}{y})-\bruch{x}{y}
[/mm]
Aber weil ich ja im ersten Term nichts nach y ableite, fällt der komplett weg und das Ergebnis lautet deswegen [mm] -\bruch{x}{y}, [/mm] richtig?
Danke im Voraus für Eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, inzwischen habe ich das, bitte um Korrektur ( wenn
> sich überhaupt einer die Frage ansieht?!?)
>
> Homogenität:
>
> [mm]j(x,y)=ln(\bruch{x}{y})^x= x*ln(\bruch{x}{y})[/mm]
>
> [mm]j(\lambda x,\lambda y)=\lambda x*ln(\bruch{\lambda x}{\lambda y})[/mm]
>
> [mm]=\lambda x*ln(\bruch{x}{y})[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] j(x,y)
>
> Somit ist j homogen vom Grad r=1.
Ja
>
> Partielle Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial j}{\partial x}(x,y)= 1*ln(\bruch{x}{y})+x*\bruch{y}{xy}[/mm]
>
> = [mm]ln(\bruch{x}{y})+1[/mm]
Ja
>
> [mm]\bruch{\partial j}{\partial y}(x,y)= x*ln(\bruch{x}{y})-\bruch{x}{y}[/mm]
Das stimmt nicht.
>
> Aber weil ich ja im ersten Term nichts nach y ableite,
> fällt der komplett weg und das Ergebnis lautet deswegen
> [mm]-\bruch{x}{y},[/mm] richtig?
Wenn Du meinst
[mm] \bruch{\partial j}{\partial y}(x,y)=-\bruch{x}{y},
[/mm]
so stimmts
FRED
>
> Danke im Voraus für Eure Hilfe.
>
|
|
|
|
