Homogenes LGS < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann mir vielleicht jemand anhand dieser Beispiele erklären, wie ich so etwas berrechne verstehs nämlich überhaupt net! Bitte, komm einfach net drauf..........
1. Beispiel
homogenes lineares Gleichungssystem
Stellen Sie die Lösungsmenge des LGS mithilfe von ganzzahligen Lösungen dar:
a) x1 + x2 + x3 = 0
2x1 +5x2- 2x3 = 0
2. Beispiel
Lösungsmenge mithilfe von Linearkombination:
b) 5x2 + 7x3 = 0
x1- 2x2+ 3x4 =o
( Zahlen hinter dem x sollen tiefgestellt sein)
wär lieb, wenn ihr mir da helfen könntet..........hab schon voll oft rumgerechnet komm aber einfach net drauf! Danke
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Hallo Mausebaerle!
> 1. Beispiel
> homogenes lineares Gleichungssystem
> Stellen Sie die Lösungsmenge des LGS mithilfe von ganzzahligen Lösungen
> dar:
> a) x1 + x2 + x3 = 0 (I)
> 2x1 +5x2- 2x3 = 0 (II)
Ich hab die beiden Gleichungen jetzt mal noch mit (I) und (II) bezeichnet!
Wenn du jetzt z.B. (II) - 2 * (I) rechnest, erhälst du folgendes:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 (I)
[mm] 3x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 0 [mm] \gdw 3x_2 [/mm] = [mm] 4x_3 [/mm] (II)*
Wenn du nun [mm] x_3 [/mm] = r wählst, bekommst du für [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{4*r}{3}
[/mm]
Setzt du das noch in (I) ein, dann ergibt sich für [mm] x_1:
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = [mm] -\bruch{4*r}{3} [/mm] - r = - [mm] \bruch{7*r}{3}
[/mm]
D.h. die Lösungsmenge ist :
[mm] {(x_1,x_2,x_3)|x_1 = - \bruch{7r}{3}, x_2 = \bruch{4*r}{3}, x_3 = r, r \in \IR}
[/mm]
Allerdings solltest du ganzzahlige Lösungen angeben, also nehmen wir die gesamte Lösungsmenge mit 3 mal, um die Brüche wegzubekommen, (das ist erlaubt, weil die Lösungsmenge für alle r aus [mm] \IR [/mm] wir also auch mit Vielfachen von den oben genannten Werten zu allen Lösungen gelangen!)
Also:
[mm] {(x_1,x_2,x_3)|x_1 = - 7*r, x_2 = 4*r, x_3 = 3*r, r \in \IR}
[/mm]
Oder vektoriell geschrieben:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} [/mm] = r [mm] *\vektor{-7 \\ 4\\ 3}
[/mm]
So ähnlich sollte auch b) zu lösen sein, nur dass da ja nach der Linearkombination gefragt ist, d.h. die Lösung auf jeden Fall vektoriell geschrieben werden muss, wobei da dann zwei Vektoren stehen müssten, weil du vier Variablen hast, aber nur 2 Gleichungen, d.h. du darfst/musst diesmal 2 Variablen frei wählen, von denen die anderen beiden dann abhängen!
Liebe Grüße
Tran
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Vielen Dank! Jetz ist mir die Sache klar geworden!
Liebe Grüße Miri
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und wie bestimme ich die Lösungsmenge, wenn
3x1 - 4x2 +3x3 =0
2x1 - x2 - x3 =0
4x1 +3x2 -11x3 =0
komm einfach nicht drauf benötige dringend hilfe! Viele liebe Grüße und dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 12.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Miri,
auch dir ein
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn möglich, solltest du verschiedene Aufgaben unter verschiedenen Strängen posten.
> und wie bestimme ich die Lösungsmenge, wenn
>
> 3x1 - 4x2 +3x3 =0
> 2x1 - x2 - x3 =0
> 4x1 +3x2 -11x3 =0
>
Es gibt verschiedene Möglichkeiten: Bei kleineren Gleichungen, wie dieser, kann man das Einsetz-, Additions- oder Gleichsetzverfahren anwenden. Bei komplexeren Gleichungen gelangt man mit dem Eliminationsverfahren nach Gauss ans Ziel. Was ist dir davon bekannt?
Du kannst ja mal die zweite Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] auflösen, das dann in die erste einsetzen und nach [mm] x_{3} [/mm] auflösen.
Eingesetzt in die dritte Gleichung erhälst du [mm] x_{1}.
[/mm]
Jetzt das gleich Spiel rückwärts und du bekommst die Werte.
Ist nur eine Möglichkeit und nicht die schnellste, aber du solltest alles mal gesehen haben.
Wenn du ewas Anderes erwartest hattest, dann schreibe es bitte!
Liebe Grüße
Herby
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das additionsverfahren is mir am geläufigsten....könntest du mir des mal bitte vorrechnen?? Versteh des net so wirklich mit drei gleichungen.........wär voll lieb
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 12.06.2005 | | Autor: | NECO |
>
> [mm] 3x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} +3x_{3} [/mm] =0
> [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] =0
> [mm] 4x_{1} +3x_{2}-11x_{3} [/mm] =0
>
> das additionsverfahren is mir am geläufigsten....könntest
> du mir des mal bitte vorrechnen?? Versteh des net so
> wirklich mit drei gleichungen.........wär voll lieb
Hallo. So wir sehen uns die Koeffizienten an. dann jaben wir so eine Matrix
[mm] \pmat{ 3 & -4 & 3\\ 2 & -1 & -1\\ 4 & 3 & -11}
[/mm]
So jetzt kann man eine Zeile mit vielfachen zu einer andere Zeile adieren. Mann kann auch teilen usw...
1) ich multipliziere die 2.Zeile mit -2 und addire zu 3. Zeile
[mm] \pmat{ 3 & -4 & 3\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 5 & -9}
[/mm]
2) ich multiplieziere die 2.Zeile mit [mm] (-\bruch{2}{3}) [/mm] und adire zu 1. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & -2,5 & 4,5\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 5 & -9}
[/mm]
jetz multiplieziere die 1. Zeile mit 2 und addire zu 3.Zeile. Dann verschwindet die letzte Zeile. Das heißt du kannst eine Parameter frei wählen. 
[mm] \pmat{ 0 & -2,5 & 4,5\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Jetz kannst du einfach ablesen.
Schöne Grüße NECO
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Vielen Dank! Jetz is mir die sache klar!
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