Homöomorphie zu zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \IR^2 [/mm] mit der euklid'schen Topologie ausgestattet. Betrachte das Einheitsquadrat Q:= [mm] [0,1]^2
[/mm]
Sei die Äquivalenzrelation ~ wie folgt definiert:
(x,y) ~ [mm] (x_2,y_2) \gdw [/mm]
[mm] (x,y)=(x_2,y_2)
[/mm]
[mm] (x,x_2)=\{0,1\} [/mm] und [mm] y=y_2
[/mm]
[mm] \{ y,y_2 \}=\{ 0,1 \} [/mm] und [mm] x=x_2
[/mm]
Man zeige, dass Q/~ homöomorph zu [mm] \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 [/mm] ist.
[mm] (\mathbb{S}^1=\{x \in \mathbb{R}^2 : |x|=1 \}) [/mm] |
Meine Gedanken bisher:
Wahrscheinlich muss man die Alexandroffsche Kompaktifizierung benützen (?).
(0,1) geht wohl auf (0,1) und (1,0) auf (1,0)
Zur Äquivalenzklasse von [mm] (0,y_3) [/mm] in Q/~ mit [mm] y_3 \neq [/mm] 0 existiert eine Äquivalenzklasse [mm] (x_3,0) [/mm] so dass [mm] x_3^2 [/mm] + [mm] y_3^2 [/mm] = 1 . Gleiches gilt für die Äquivalenzklassen [mm] (1,y_4) [/mm] und [mm] (x_4,1) [/mm] . Dann könnte man hier eine Bijektion dieser Äquivalenzklassen beschreiben, wenn man diese Elemente so "umordnet". Aber wie ist das formal zu bewerkstelligen?
Bei der ersten Äquivalenzklasse kann man dann gleich argumentieren und wieder existiert eine solche Bijektion nach [mm] \mathbb{S}^1. [/mm] Wie kann ich diese Funktion, die wie ihre Umkehrfunktion stetig sein muss, finden?
Habt ihr ev. Hinweise bitte?
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 11.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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