Homöomorphie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Do 10.02.2005 | | Autor: | Fussel |
In Mathematik bin ich leider völlig ahnungslos. Vor einiger Zeit bin ich in einem Buch auf das Wort Topologie gestoßen und wollte wissen, was das ist bzw. worum es da geht. Dazu habe ich im Internet und in der hiesigen Unibibliothek recherchiert und versucht, ein paar Grundbegriffe irgendwie zu verstehen, was mir aber schwerfällt.
Ich bin zum Beispiel nicht sicher, ob ich eine richtige Vorstellung davon habe, was homöomorph bedeutet.
Anschaulich sind zwei Gegenstände also homöomorph, wenn durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen der eine zu dem anderen verformt werden kann.
Die Oberfläche eines Würfels oder eines Tetraeders sind homöomorph zur Oberfäche einer Kugel, was man sich veranschaulichen kann, indem man sich die Oberfläche eines Würfels oder eines Tetraeders auf die einer Kugel projiziert vorstellt.
Meine Frage ist nun: Heißt das denn, dass ein Würfel und ein Tetraeder auch homöomorph sind? Schließlich kann ich doch durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren oder Verdrillen die Verknüpfungen der Ecken und Kanten des Würfels nicht mit den Verknüpfungen der Ecken und Kanten eines Tetraeders zur Übereinstimmung bringen.
Oder verstehe ich da irgendwas falsch?
Bin für jede Antwort, auch für kurz und knapp gehaltene, dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Meinen Gruß!
Zunächst freue ich mich über das Interesse.  Wenn an meiner Antwort etwas unklar sein sollte, zögere nicht, einfach nachzuhaken!
Also... die Topologie ist eine recht "grobe" Methode, Objekte zu unterscheiden. Eine Äquivalenz zwischen Objekten (oder "Räumen", wie der Mathematiker oft sagt) ist schon gegeben, wenn man die beiden Objekte "bijektiv" aufeinander abbilden kann (d.h. man findet eine 1:1 Beziehung ihrer Punkte - z.B. durch Dehnen, Stauchen, Strecken, Biegen, etc.). Wichtig ist also, dass jeder Punkt auf einen festgelegten anderen geht und man die Transformation theoretisch rückgängig machen könnte.
Einzige Bedingung der Topologen an eine solche Abbildung: sie muß "stetig" sein. Das bedeutet grob gesprochen: zwei Punkte, die vorher "dicht" beieinander lagen, tun dies hinterher auch noch. Man darf also keine Löcher in die Struktur reißen. Wohl aber Knicke machen!
Und deshalb sind ein Würfel und ein Tetraeder auch homöomorph: stell Dir das Objekt als Knetmasse vor, dann kannst Du den Würfel zum Tetraeder formen, Du kannst die Knicke aufheben und/oder neue einfügen. Insbesondere kannst Du die sogenannte "Trianulierung", also die Aufteilung in Flächen aufheben und ändern. Beide Objekte sind homöomorph zur Sphäre und die hat ja weder Ecken noch Kanten.
Etwas anderes ist es, wenn man verlangt, dass die Abbildung auch differenzierbar sein soll - das bedeutet dann, dass die Ableitung im Sinn der Analysis existieren muß und da ist es eben verboten, Knicke einzubauen. Eine Kreislinie und ein Quadrat sind im differenzierbaren Sinne nicht äquivalent, aber im stetigen Sinn schon!
Alles klar so weit? Die Topologie ist also eine verhältnismäßig grobe Art, Objekte auseinanderzuhalten, aber ungemein nützlich. So weiß man zum Beispiel, dass Flächen (also was man sich an Oberflächen von Objekten vorstellen kann) topologisch nur durch die Anzahl ihrer Löcher unterschieden werden: jedes Objekt ohne Löcher ist homöomorph zur Sphäre, jedes mit einem Loch ist homöomorph zum Torus (=Donut oder Autoreifen), etc.
Das gilt nur in Dimension 2 und verlangt einen hinreichend genauen Begriff von "Fläche". Wenn Du Dich in das Thema einliest, wirst Du irgendwann über das Wort "Mannigfaltigkeit" stolpern - klingt hochtrabend, ist aber simpel erklärt: etwas, das "lokal" (also aus der Nähe) so aussieht wie ein normaler, euklidischer Raum, ist eine Mannigfaltigkeit. Die Oberfläche einer Kugel sieht von Nahem betrachtet aus wie eine Ebene (zum Beispiel die Oberfläche unseres Planeten - sie erscheint uns flach!) und das ist ein Beispiel für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Bevor ich jetzt weiter abschweife, will ich es erstmal hierbei bewenden lassen. Die Materie ist hochinteressant und wenn weitere Fragen auftauchen bin ich auch gern bereit, zu antworten, wenn ich kann. Ich würde mich zwar nicht als Topologen bezeichnen, aber ich habe in dem Gebiet mal die eine oder andere Vorlesung belegt.
Schöne Grüße,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Fussel |
Lieber Lars,
alles klar soweit. Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Schöne Grüße,
Oliver
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