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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Leia |
| Aufgabe | Geben Sie an, für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] das Polynom x² + 2axy + by² Realteil einer holomorphen
Funktion auf C ist und bestimmen Sie für jedes solche (a,b) diese holomorphen Funktionen. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Folgendes hab ich mir dazu überlegt:
Wenn dieses Polynom der Realteil einer Funktion sein soll, dann muss die ja irgendwie so aussehen:
f: [mm] z\mapsto [/mm] x²+2axy+by²+ic
Und jetzt ist ja die Frage, für welche a und b diese Funktion differenzierbar ist. Ich hab dann mal die Ableitungen von f gebildet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2x+2ay+\bruch{ic}{\partial x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=2ax+2by+\bruch{ic}{\partial y}
[/mm]
So, und warum soll das jetzt für irgendwelche a und b nicht gehen? Es muss ja für ziemlich viele nicht gehen, um nicht zu sagen für fast alle, sonst würde ja der zweite Teil der Frage keinen Sinn ergeben.
Ich hab mir auch überlegt, ob man das vielleicht über die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen machen könnte. Da hätte ich dann die Funktionen
u(x,y)=x²+2axy+by²
v(x,y)=c
und dann müsste
[mm] u_{x}=2x+2ay=\bruch{c}{\partial y}=v_{y}
[/mm]
[mm] u_{y}=2ax+2by=-\bruch{c}{\partial x}=-v_{x}
[/mm]
sein. Was mich aber auch nicht weiterbringt.
Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße,
Leia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 11.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Leia,
so viele holomorphe Funktionen, die geschlossen darstellbar sind, gibt es in der Funktionentheorie ja gar nicht; dies ist kein Lösungshinweis, sondern wird sich am Ende der Aufgabe, wenn Du die Lösung hast, bestätigen.
Nun zum Vorgehen. Der Ansatz mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist doch goldrichtig. Du solltest nur die merkwürdige Schreibweise mit dem c vermeiden, da muss man ja auf eine falsche Fährte gelockt werden. Also:
[mm] 2x+2ay=v_{y}(x,y) [/mm] und
[mm] 2ax+2by=-v_{x}(x,y)
[/mm]
Das sind jetzt zwei partielle Differentialgleichungen für v(x,y), also den Imaginärteil der letztlich gesuchten holomorphen Funktion, nennen wir sie f(z).
Auch ohne Vorlesung über partielle oder gewöhnliche DGl kann man dieses System lösen, indem man einfach die Stammfunktionen bzgl. y in der ersten Gleichung und bzgl. x in der zweiten Gleichung bildet und da beidesmal v(x,y) rauskommen muss, kann man dies zur Bestimmung von a und b nutzen indem man die beiden Ergebnisse gleichsetzt (Achtung: Integrationskonstanten bei Stammfunktionsbildung nicht vergessen).
Mache Dir dazu klar, dass die Gleichheit für alle Werte x, y [mm] \in \IR [/mm] gelten muss, also auch für speziell gewählte besonders einfache x bzw. y - Werte. Und wenn Du auf diese Weise a und b bestimmt hast, ist der Weg zu f(z) nicht mehr weit (siehe dann meinen ersten Satz).
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 13.11.2008 | | Autor: | Leia |
Hallo Uli,
erst mal vielen Dank für die Hilfe!
Ich hab jetzt die Stammfunktionen gebildet, aber mir ist nicht ganz klar, was ich dann mit den Integrationskonstanten machen soll. Da hab ich ja dann noch mal zwei zusätzliche Variablen drin. Für die Stammfunktionen bekommen ich diese beiden Lösungen raus:
v=-ax²-2byx+c
v=2xy+ay²+d
Die muss ich gleichsetzen, richtig? Und kann ich jetzt für x und y irgendwelche Werte wählen, und das dann so ausrechen? Aber es muss ja für alle x,y gelten...
Und das d und das c sind ja dann auch noch drin...
Ich bedanke mich schon mal vielmals für die Hilfe.
Viele Grüße,
Leia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Do 13.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Leia,
zum Verständnis: Die Funktion f(z) soll auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph sein, also für jedes z=(x,y), das bedeutet, dass die Cauchy-Riemannschen DGl für alle (x,y) gelten müssen und das führt zur Bestimmung von a und b. Die Integrationskonstanten vereinfachen sich dadurch auch. Dass das für alle anderen (x,y) dann auch richtig ist, kannst Du ja im Zweifelsfall, wenn Du f(z) bestimmt hast, einfach nachrechnen.
Also Gleichsetzen:
-ax²-2byx+c=2xy+ay²+d
und jetzt mal scharf hinsehen. Natürlich wird man es nicht mit x=5783 und y=123 versuchen, sondern mit Werten, wo möglichst viel wegfällt, also mal mit x=0 und y=0. Daraus folgt schon etwas über c und d. Diese Erkenntnis sofort in die Gleichung einsetzen, was dann zunächst zu einer Gleichung ohne c und d führt. Jetzt geht's weiter mit x = 0 und y [mm] \not= [/mm] 0 (oder umgekehrt) und liefert a. Einsetzen und dann ist die Bestimmung von b nicht mehr schwer und Du hast Realteil und Imaginärteil der Funktion f bestimmt indem Du in u und v die gefundenen Größen einsetzt. Der Rest sollte dann machbar sein.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 20.11.2008 | | Autor: | Leia |
Hallo Uli,
ich glaub, jetzt hab ichs verstanden.
Nochmal vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße,
Leia
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