Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Sa 24.11.2007 | | Autor: | juspai |
| Aufgabe | | Sei f (z) = 1/(1+z²) für z [mm] \not= \pm [/mm] i. Es gilt f(z) = 1/(2i) * [1/(z-i) - 1/(z+i)] für z [mm] \not= \pm [/mm] i, und f ist holomorph auf [mm] C\{\pm i }. [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dem Beweis der Holomorphie. Ich würde die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen verwenden, ich weiß aber nicht, wie ich den Realteil vom Imaginärteil, also u von v trennen soll und welche Version von f(z) besser geeignet ist.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f (z) = 1/(1+z²) für z [mm]\not= \pm[/mm] i. Es gilt f(z) =
> 1/(2i) * [1/(z-i) - 1/(z+i)] für z [mm]\not= \pm[/mm] i, und f ist
> holomorph auf [mm]C\backslash\{\pm i \}.[/mm]
> Hallo!
> Ich habe ein Problem mit dem Beweis der Holomorphie. Ich
> würde die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen
> verwenden, ich weiß aber nicht, wie ich den Realteil vom
> Imaginärteil, also u von v trennen soll und welche Version
> von f(z) besser geeignet ist.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Welche der Formen du nimmst, ist eigentlich egal. Nimm zum Beispiel
[mm]\bruch{1}{1+z^2} = \bruch{1}{1+(x+iy)^2} = \bruch{1}{1+x^2-y^2+2ixy}[/mm]
und erweitere den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.
Viele Grüße
Rainer
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