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Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Do 28.05.2009
Autor: mona85

Aufgabe
a)Sei f: [mm] \IC \to \IC [/mm] holomorph mit [mm] f(\IR) \subset \IR [/mm]
Zeige, dass [mm] f(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{f(z)} [/mm] für alle z [mm] \in \IC [/mm]

b) Sei f: [mm] \IC \backslash \{0\} \to \IC, [/mm] f(z) =1- [mm] e^{\bruch{1}{z}}. [/mm] Finde eine injektive Folge [mm] (z_{n}), [/mm] so dass [mm] f(z_{n}) [/mm] = 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Ist dies ein Widerspruch zum Identitätssatz?

Zu a) weiß ich, dass das für die Ableitung gilt, kann ich das hier irgendwo verwenden??

bei der b) weiß ich leider keinen Ansatz, kann mir da jemand beim Start helfen??

Vielen Dank schonmal

        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Anregungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Do 28.05.2009
Autor: generation...x

a) Was, wenn man die Taylorentwicklung betrachtet? Sagen wir um die Null?

b) Was, wenn man [mm] z_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen lässt, ohne dass die Folge einen Häufungspunkt hat?

Bezug
        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Do 28.05.2009
Autor: fred97

Zu a)

Es gilt:

               $f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm]  für jedes z [mm] \in \IC [/mm]

Zu zeigen ist:  [mm] a_n \in \IR [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.

Dazu sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_n +ic_n$ [/mm] mit [mm] b_n,c_n \in \IR [/mm]

Für x [mm] \in \IR [/mm] ist nach Vor.

               $f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] + [mm] i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR$ [/mm]


Also ist

               [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n [/mm] = 0$  für jedes x [mm] \in \IR [/mm]

Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun:  [mm] c_n [/mm] = 0 für jedes n [mm] \ge [/mm] 0


Zu b) Es ist

            $f(z) = 0  [mm] \gdw e^{1/z}= [/mm] 1 [mm] \gdw$ [/mm] es ex. $k [mm] \in \IZ [/mm] : 1/z = 2k [mm] \pi [/mm] i [mm] \gdw [/mm] $  es ex. $k [mm] \in \IZ [/mm] : z = [mm] \bruch{1}{2k \pi i }$ [/mm]

Für k [mm] \in \IZ [/mm] , k [mm] \not= [/mm] 0, setze [mm] $z_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{2k \pi i }$ [/mm]

Dann: [mm] $f(z_k) [/mm] = 0$ und  [mm] $z_k \to [/mm] 0$    $(|k| [mm] \to \infty$) [/mm]



FRED

Bezug
                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Mo 01.06.2009
Autor: mona85

Zu a)
Ich habe da noch ein paar kleine Verständnisprobleme... also man kann sagen, dass

>  
> Es gilt:
>  
> [mm]f(z) = \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]  für jedes z [mm]\in \IC[/mm]

wegen dem Potenzreihenentwicklungssatz, oder??
  

> Zu zeigen ist:  [mm]a_n \in \IR[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>  
> Dazu sei [mm]a_n = b_n +ic_n[/mm] mit [mm]b_n,c_n \in \IR[/mm]
>  
> Für x [mm]\in \IR[/mm] ist nach Vor.
>  
> [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n = \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n + i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR[/mm]
>
>
> Also ist
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n = 0[/mm]  für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>  
> Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun:  [mm]c_n[/mm] = 0
> für jedes n [mm]\ge[/mm] 0
>  

Das verstehe ich soweit...man zeigt, dass [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] ist, weil dann die Konjugation von z das Gleiche ist wie z?  Habe ich das so richtig verstanden?

>
> Zu b) Es ist
>
> [mm]f(z) = 0 \gdw e^{1/z}= 1 \gdw[/mm] es ex. [mm]k \in \IZ : 1/z = 2k \pi i \gdw[/mm]
>  es ex. [mm]k \in \IZ : z = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>  
> Für k [mm]\in \IZ[/mm] , k [mm]\not=[/mm] 0, setze [mm]z_k = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>  
> Dann: [mm]f(z_k) = 0[/mm] und  [mm]z_k \to 0[/mm]    [mm](|k| \to \infty[/mm])
>  

Ich müsste noch zeigen, dass [mm] z_k [/mm] injektiv ist, richtig?

Vielen Dank schonmal, das hat mir bisher sehr weitergeholfen!

Bezug
                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Di 02.06.2009
Autor: fred97


> Zu a)
>  Ich habe da noch ein paar kleine Verständnisprobleme...
> also man kann sagen, dass
>  >  
> > Es gilt:
>  >  
> > [mm]f(z) = \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]  für jedes z [mm]\in \IC[/mm]
>  
> wegen dem Potenzreihenentwicklungssatz, oder??


Ja


>    
> > Zu zeigen ist:  [mm]a_n \in \IR[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>  >  
> > Dazu sei [mm]a_n = b_n +ic_n[/mm] mit [mm]b_n,c_n \in \IR[/mm]
>  >  
> > Für x [mm]\in \IR[/mm] ist nach Vor.
>  >  
> > [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n = \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n + i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR[/mm]
> >
> >
> > Also ist
>  >  
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n = 0[/mm]  für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>  >  
> > Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun:  [mm]c_n[/mm] = 0
> > für jedes n [mm]\ge[/mm] 0
>  >  
> Das verstehe ich soweit...man zeigt, dass [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] ist,
> weil dann die Konjugation von z das Gleiche ist wie z?  

Unsinn



> Habe ich das so richtig verstanden?

Nein


Da [mm] a_n \in \IR: [/mm]

[mm] \overline{f(z)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}\overline{z}^n= \summe_{n=0}^{\infty}a_n\overline{z}^n [/mm] = f( [mm] \overline{z}) [/mm]


>  >

> > Zu b) Es ist
> >
> > [mm]f(z) = 0 \gdw e^{1/z}= 1 \gdw[/mm] es ex. [mm]k \in \IZ : 1/z = 2k \pi i \gdw[/mm]
> >  es ex. [mm]k \in \IZ : z = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]

>  >  
> > Für k [mm]\in \IZ[/mm] , k [mm]\not=[/mm] 0, setze [mm]z_k = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>  
> >  

> > Dann: [mm]f(z_k) = 0[/mm] und  [mm]z_k \to 0[/mm]    [mm](|k| \to \infty[/mm])
>  >  
> Ich müsste noch zeigen, dass [mm]z_k[/mm] injektiv ist, richtig?


Ja

FRED


>
> Vielen Dank schonmal, das hat mir bisher sehr
> weitergeholfen!


Bezug
                                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Di 02.06.2009
Autor: mona85

Danke, jetzt ist alles klar soweit!!

Sorry, wenn ich auf dem Schlauch stand!! :-)

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