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| Aufgabe | Seien D [mm] \subset \IC [/mm] ein Gebiet und f: D [mm] \to \IC [/mm] eine holomorphe Funktion.
Zeigen Sie: Dann gilt
[mm] \Delta(|f|^2) [/mm] = [mm] 4|f'|^2. [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand einen Ansatz zu der Aufgabe geben?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Also auf der rechten Seite steht [mm] 4|f'|^2. [/mm] Nach einer Formel gilt: [mm] f'(z_{0})= \partial_{x} u(x_{0}, y_{0}) [/mm] + [mm] i\partial_{x} v(x_{0},y_{0}).
[/mm]
Wenn ich damit rechne, erhalte ich: 4 [mm] (\partial_{x}^2 u^2 [/mm] - [mm] \partial_{x}^2 v^2). [/mm]
Ist das soweit richtig? Wie verfahre ich mit der linken Seite?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Ich hab die Binomische Formel vergessen:
4 ( [mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] + 2 [mm] \partial_{x}u \partial_{x}v [/mm] - [mm] \partial_{x}^2v^2 [/mm] )
Ist das richtig?
Auf der linken Seite komme ich auf:
Mit [mm] f(z_{0}) [/mm] = [mm] u(x_{0},y_{0}) [/mm] + i [mm] v(x_{0},y_{0}) [/mm] erhalte ich für [mm] |f|^2:
[/mm]
[mm] |f|^2 [/mm] = [mm] (u+iv)^2 [/mm] = [mm] u^2 [/mm] + 2 u iv + [mm] (iv)^2 [/mm] = [mm] u^2 [/mm] + 2 u iv - [mm] v^2
[/mm]
Wenn ich darauf jetzt Delta anwende, komme ich auf das obige Ergebnis (rechte Seite), aber ohne den Faktor 4 und das i steht noch im mittleren Term. Was ist falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hab die Binomische Formel vergessen:
>
> 4 ( [mm]\partial_{x}^2u^2[/mm] + 2 [mm]\partial_{x}u \partial_{x}v[/mm] -
> [mm]\partial_{x}^2v^2[/mm] )
>
> Ist das richtig?
>
>
> Auf der linken Seite komme ich auf:
>
> Mit [mm]f(z_{0})[/mm] = [mm]u(x_{0},y_{0})[/mm] + i [mm]v(x_{0},y_{0})[/mm] erhalte
> ich für [mm]|f|^2:[/mm]
>
> [mm]|f|^2[/mm] = [mm](u+iv)^2[/mm] = [mm]u^2[/mm] + 2 u iv + [mm](iv)^2[/mm] = [mm]u^2[/mm] + 2 u iv -
> [mm]v^2[/mm]
Der Betrag ist immer reell: [mm] $|f|^2 [/mm] = [mm] u^2+v^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Oh, ja stimmt. Daran hatte ich nicht gedacht. Dann käme ich auf:
[mm] \Delta(|f|^2) [/mm] = [mm] \Delta(u^2+v^2) [/mm] = [mm] \partial_{x}^2(u^2+v^2) [/mm] = [mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2v^2
[/mm]
für die linke Seite.
Für die rechte Seite bekomme ich dann aber:
[mm] 4|f'|^2 [/mm] = 4 [mm] (|\partial_{x}u [/mm] + i [mm] \partial_{x} v|)^2 [/mm] = 4 [mm] (\partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2v^2)
[/mm]
Aber das ist ja jetzt nicht gleich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh, ja stimmt. Daran hatte ich nicht gedacht. Dann käme ich
> auf:
>
> [mm]\Delta(|f|^2)[/mm] = [mm]\Delta(u^2+v^2)[/mm] = [mm]\partial_{x}^2(u^2+v^2)[/mm] =
> [mm]\partial_{x}^2u^2[/mm] + [mm]\partial_{x}^2v^2[/mm]
>
> für die linke Seite.
Richtig, aber jetzt musst du weiterrechnen, die Ableitungen auch ausführen.
> Für die rechte Seite bekomme ich dann aber:
>
> [mm]4|f'|^2[/mm] = 4 [mm](|\partial_{x}u[/mm] + i [mm]\partial_{x} v|)^2[/mm] = 4
> [mm](\partial_{x}^2u^2[/mm] + [mm]\partial_{x}^2v^2)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] (\partial_{x} u)^2 \not= \partial_{x}^2u^2 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Wie soll ich die Ableitungen ausführen? Ich weiß ja nicht was u bzw. v ist.
Was kommt denn bei [mm] (\partial_{x}u)^2 [/mm] raus? Da müsste ich wahrscheinlich auch erst die Ableitung ausführen, aber das geht ja nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie soll ich die Ableitungen ausführen? Ich weiß ja nicht
> was u bzw. v ist.
Aber da steht [mm] $\partial_x^2 u^2$, [/mm] da bietet sich die Kettenregel an:
[mm] $\partial_x^2 u^2$ [/mm] = [mm] \partial_x(\partial_x(u^2)) [/mm] = [mm] \dots$
[/mm]
> Was kommt denn bei [mm](\partial_{x}u)^2[/mm] raus? Da müsste ich
> wahrscheinlich auch erst die Ableitung ausführen, aber das
> geht ja nicht.
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Hallo, also ich habe dann stehen:
[mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2v^2 [/mm] = 4 ( [mm] (\partial_{x}u)^2 [/mm] + [mm] (\partial_{x}v)^2 [/mm] )
[mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2v^2 [/mm] = 4 ( [mm] \partial_{x}(\partial_{x}u^2) [/mm] + [mm] \partial_{x}(\partial_{x}v^2) [/mm] )
Aber ich sehe da keine Gleichheit und ich weiß auch nicht, wie ich da weiterrechnen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, also ich habe dann stehen:
>
> [mm]\partial_{x}^2u^2[/mm] + [mm]\partial_{x}^2v^2[/mm] = 4 (
> [mm](\partial_{x}u)^2[/mm] + [mm](\partial_{x}v)^2[/mm] )
>
> [mm]\partial_{x}^2u^2[/mm] + [mm]\partial_{x}^2v^2[/mm] = 4 (
> [mm]\partial_{x}(\partial_{x}u^2)[/mm] +
> [mm]\partial_{x}(\partial_{x}v^2)[/mm] )
>
> Aber ich sehe da keine Gleichheit und ich weiß auch nicht,
> wie ich da weiterrechnen soll.
Du sollst, wie ich schon schrieb, [mm] $\partial_{x}u^2$ [/mm] und [mm] $\partial_{x}v^2$ [/mm] mit der Kettenregel ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Ok, sorry, ich bin heute irgendwie schwer von Begriff. Also habe ich dann
[mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2v^2 [/mm] = 4 ( [mm] \partial_{x}^2(\partial_{x}u^2) \partial_{x}^2u^2 [/mm] + [mm] \partial_{x}^2(\partial_{x}v^2 [/mm] ) [mm] \partial_{x}v^2)
[/mm]
Und weiter weiß ich wieder nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, sorry, ich bin heute irgendwie schwer von Begriff. Also
> habe ich dann
>
> [mm]\partial_{x}^2u^2[/mm] + [mm]\partial_{x}^2v^2[/mm] = 4 (
> [mm]\partial_{x}^2(\partial_{x}u^2) \partial_{x}^2u^2[/mm] +
> [mm]\partial_{x}^2(\partial_{x}v^2[/mm] ) [mm]\partial_{x}v^2)[/mm]
Du hast rechts viel mehr Ableitungen und höhere Potenzen als links, das kann nicht stimmen.
Die Kettenregel sagt:
[mm]\partial_x (u^2) = 2 u \partial_x u [/mm]
So, jetzt rechnest du [mm] $\partial_x^2 u^2 [/mm] = [mm] \partial_x(\partial_x (u^2))$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Ich kann doch [mm] u^2 [/mm] nicht einfach als 2u ableiten. Ich leite doch nach x ab und nicht nach u.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kann doch [mm]u^2[/mm] nicht einfach als 2u ableiten. Ich leite
> doch nach x ab und nicht nach u.
Wenn du der Kettenregel nicht glaubst, dann nimm die Produktregel:
[mm]\partial_x(u^2) = \partial_x(u*u) = (\partial_x u)*u + u* (\partial_x) u[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Also jetzt nochmal ganz langsam. Ich möchte [mm] \partial_{x}u^2 [/mm] berechnen mit Hilfe der Kettenregel:
Ich wähle [mm] v=u^2. [/mm] Dann ist v'=2u.
Ich wähle [mm] u=\partial_{x}. [/mm] Dann ist [mm] u'=\partial_{x}^2.
[/mm]
Die Kettenregel lautet u'(v) v'.
Damit erhalte ich [mm] (\partial_{x}^2u^2) [/mm] 2u.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also jetzt nochmal ganz langsam. Ich möchte [mm]\partial_{x}u^2[/mm]
> berechnen mit Hilfe der Kettenregel:
>
> Ich wähle [mm]v=u^2.[/mm] Dann ist v'=2u.
>
> Ich wähle [mm]u=\partial_{x}.[/mm] Dann ist
> [mm]u'=\partial_{x}^2.[/mm]
[mm] $\partial_x$ [/mm] ist doch keine Funktion!
Du hast $g(u(x,y))$ mit [mm] $g(t):=t^2$. [/mm] Nach der Kettenregel ist:
[mm]\bruch{\partial g(u(x,y))}{\partial x} = g'(u(x,y)) * \bruch{\partial u(x,y)}{\partial x} = 2 u(x,y) * \bruch{\partial u(x,y)}{\partial x}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Also gut, dann nehm ich das mal so hin. Verstehen tu ichs nicht.
Es gilt also: [mm] \partial_{x}(u^2) [/mm] = [mm] 2u\partial_{x}u
[/mm]
[mm] \partial_{x}^2u^2 [/mm] = [mm] \partial_{x}(\partial_{x}(u^2)).
[/mm]
Setze ich das also in die zweite Gleichung von meiner Mitteilung um 20:21 Uhr ein. Dann erhalte ich:
[mm] \partial_{x}(2u\partial_{x}u)+\partial_{x}(2v\partial_{x}v) [/mm] = 4 [mm] (\partial_{x}(2u\partial_{x}u) [/mm] + [mm] \partial_{x}(2v\partial_{x}v))
[/mm]
Dann teile ich durch die linke Seite und erhalte: 1 = 4 , was offensichtlich falsch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Also die Umrechnung in meiner Mitteilung von 20:21 Uhr von der ersten zur zweiten Zeile stimmt nicht. Das habe ich nachgerechnet.
Es bleibt noch zu klären, was [mm] (\partial_{x}u)^2 [/mm] ist und ob [mm] (|\partial_{x}u [/mm] + i [mm] \partial_{x}v|)^2 [/mm] = [mm] (\partial_{x}u)^2 [/mm] + [mm] (\partial_{x}v)^2 [/mm] gilt.
Wenn mir da jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also die Umrechnung in meiner Mitteilung von 20:21 Uhr von
> der ersten zur zweiten Zeile stimmt nicht. Das habe ich
> nachgerechnet.
>
> Es bleibt noch zu klären, was [mm](\partial_{x}u)^2[/mm] ist
Das solltest du stehen lassen, das lässt sich nicht weiter vereinfachen.
> und ob
> [mm](|\partial_{x}u[/mm] + i [mm]\partial_{x}v|)^2[/mm] = [mm](\partial_{x}u)^2[/mm]
> + [mm](\partial_{x}v)^2[/mm] gilt.
Ja natürlich!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Ok, dann steht aber da:
[mm] \partial_{x}(2u\partial_{x}u)+\partial_{x}(2v\partial_{x}v) [/mm] = 4 ( [mm] (\partial_{x}u)^2 [/mm] + [mm] (\partial_{x}v)^2 [/mm] )
Und weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Di 24.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, dann steht aber da:
>
> [mm]\partial_{x}(2u\partial_{x}u)+\partial_{x}(2v\partial_{x}v)[/mm]
> = 4 ( [mm](\partial_{x}u)^2[/mm] + [mm](\partial_{x}v)^2[/mm] )
Schreib dir bitte mal die komplette Rechnung hin. Da fehlt auf der linken Seite die Hälfte, nämlich die Ableitungen nach y.
> Und weiter?
Produktregel.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also auf der rechten Seite steht [mm]4|f'|^2.[/mm] Nach einer Formel
> gilt: [mm]f'(z_{0})= \partial_{x} u(x_{0}, y_{0})[/mm] +
> [mm]i\partial_{x} v(x_{0},y_{0}).[/mm]
>
> Wenn ich damit rechne, erhalte ich: 4 [mm](\partial_{x}^2 u^2[/mm] -
> [mm]\partial_{x}^2 v^2).[/mm]
Wieso denn das? Aus [mm]f'(z_{0})= \partial_{x} u(x_{0}, y_{0}) + i\partial_{x} v(x_{0},y_{0})[/mm] folgt [mm] $|f'|^2 [/mm] = [mm] (\partial_{x} u)^2 [/mm] + [mm] (\partial_x v)^2$.
[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Wie verfahre ich mit der linken
> Seite?
Bedenke, dass u und v harmonische Funktionen sind!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Es steht doch [mm] 4|f'|^2 [/mm] da. Dann stimmt es doch wieder oder?
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