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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sei f,g : [mm] \IC \to \IC [/mm] holomorph. Es gelte |f(z)| [mm] \le [/mm] |g(z)| für alle z [mm] \in \IC. [/mm] zeige, dass f = [mm] \lambda [/mm] g für ein [mm] \lambda \in \IC. [/mm] |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand helfen,weil ich sitz grad vor dieser Aufgabe und weiß nicht, welchen Satz ich aus der Vorlesung besnutzen soll, um die Aussage zu zeigen. Kann ich den Identitätssatz verwenden?
Wozu brauch ich denn |f(z)| [mm] \le [/mm] |g(z)|, um f = [mm] \lambda [/mm] g zu zeigen? D.h. doch, dass f und g sich nur um einen Faktor unterscheiden.
Vielleicht kann mir ja jemand einen kleinen Tipp geben... Das wär echt sehr nett.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f,g : [mm]\IC \to \IC[/mm] holomorph. Es gelte |f(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)|
> für alle z [mm]\in \IC.[/mm] zeige, dass f = [mm]\lambda[/mm] g für ein
> [mm]\lambda \in \IC.[/mm]
> Hallo,
> ich hoffe, es kann mir jemand helfen,weil ich sitz grad
> vor dieser Aufgabe und weiß nicht, welchen Satz ich aus der
> Vorlesung besnutzen soll, um die Aussage zu zeigen. Kann
> ich den Identitätssatz verwenden?
> Wozu brauch ich denn |f(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)|, um f = [mm]\lambda[/mm] g
> zu zeigen? D.h. doch, dass f und g sich nur um einen Faktor
> unterscheiden.
Also wenn $g$ konstant gleich $0$ ist, dann ist die Behauptung klar, oder? 
Ansonsten ist die Nullstellenmenge von $g$ diskret. Sei diese als $M$ bezeichnet.
Die Funktion $h(z) := [mm] \frac{f(z)}{g(z)}$ [/mm] ist auf [mm] $\IC \setminus [/mm] M$ holomorph. Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kannst du nun zeigen, dass sie `in Wirklichkeit' sogar auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 11.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felix,
ich danke dir für deine Antwort. Wir haben in der Vorlesung den Riemannschen Hebbarkeitssatz noch nicht gehabt und weiß daher nicht, wie ich das genau beweisen soll.
Ich hab den Anfang mal gemacht:
f ist ja holomorph und weil |f(z)| [mm] \le [/mm] |g(z)| [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] gilt, ist doch f beschränkt oder?
Also ist nach dem Satz von Liouville f konstant oder?
Jetzt hast du gesagt, wenn g = 0 ist, dann ist doch |f(z)| [mm] \le [/mm] 0, also gleich 0, also ist auch f = 0 und das gilt dann für alle [mm] \lambda \in \IC [/mm] oder?
Aber wie soll ich das jetzt für g [mm] \not= [/mm] 0 zeigen, dass f= [mm] \lambda [/mm] g für ein [mm] \lambda \in \IC?
[/mm]
Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion g [mm] \not= [/mm] 0 auf einem Gebiet ist diskret und abgeschlossen.
Ich versteh nicht ganz, warum ich h(z) := [mm] \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] definieren muss, wenn ich doch f= [mm] \lambda [/mm] g zeigen soll.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter...
Vielen Dank schonmal.
Viele Grüße, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> ich danke dir für deine Antwort. Wir haben in der
> Vorlesung den Riemannschen Hebbarkeitssatz noch nicht
> gehabt und weiß daher nicht, wie ich das genau beweisen
> soll.
Den brauchst du dazu, um aus [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] eine auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definierte Funktion zu machen! Ansonsten kannst du Liouville nicht anwenden!
> Ich hab den Anfang mal gemacht:
>
> f ist ja holomorph und weil |f(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)| [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm]
> gilt, ist doch f beschränkt oder?
Ja, zumindest fuer alle $z$ mit $g(z) [mm] \neq [/mm] 0$.
> Also ist nach dem Satz von Liouville f konstant oder?
Wenn [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definiert waere, ja.
> Jetzt hast du gesagt, wenn g = 0 ist, dann ist doch |f(z)|
> [mm]\le[/mm] 0, also gleich 0, also ist auch f = 0 und das gilt dann
> für alle [mm]\lambda \in \IC[/mm] oder?
Genau.
> Aber wie soll ich das jetzt für g [mm]\not=[/mm] 0 zeigen, dass f=
> [mm]\lambda[/mm] g für ein [mm]\lambda \in \IC?[/mm]
>
> Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion g [mm]\not=[/mm] 0
> auf einem Gebiet ist diskret und abgeschlossen.
>
> Ich versteh nicht ganz, warum ich h(z) :=
> [mm]\bruch{f(z)}{g(z)}[/mm] definieren muss, wenn ich doch f=
> [mm]\lambda[/mm] g zeigen soll.
Du hast doch mit Liouville gezeigt, dass $h$ konstant ist. Also $h(z) = [mm] \lambda$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IC$. [/mm] Und nun ist also [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \frac{f(z)}{g(z)}$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IC$. [/mm] Was bedeutet das?
So. Wenn du das hast, zurueck zum Problem: Was machen wir mit den Stellen, wo $g(z) = 0$ ist? Sei [mm] $z_0$ [/mm] mit [mm] $g(z_0) [/mm] = 0$ und $r > 0$ ein Radius so, dass $g$ auf [mm] $B_r(z_0)$ [/mm] (Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius $r$) keine weitere Nullstelle ausser [mm] $z_0$ [/mm] hat (warum geht das?).
Schau dir mal die Hilfsfunktion $h(z) := [mm] \frac{f(z)}{g(z)} [/mm] (z - [mm] z_0)$ [/mm] an fuer $z [mm] \neq z_0$ [/mm] und [mm] $h(z_0) [/mm] := 0$. Sie ist auf [mm] $B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] holomorph und auf ganz [mm] $B_r(z_0)$ [/mm] stetig (warum?). Kennst du jetzt einen Satz, der besagt, dass $h$ auf ganz [mm] $B_r(z_0)$ [/mm] holomorph ist? (Das muesst ihr gehabt haben!)
Wenn du das hast, nimm eine Potenzreihenentwicklung von $h$ in [mm] $z_0$, [/mm] etwa $h(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$. [/mm] Da [mm] $h(z_0) [/mm] = 0$ ist muss [mm] $a_0 [/mm] = 0$ sein. Jetzt betrachte die Funktion $H(z) := [mm] \sum_{k=0}^\infty a_{k+1} [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] (also ist $H(z) [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] z_0) [/mm] = h(z)$). Behauptung: Auf [mm] $B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] stimmen $H(z)$ und [mm] $\frac{f(z)}{g(z)}$ [/mm] ueberein. Das musst du jetzt zeigen.
Nach dem Identitaetssatz folgt dann schliesslich, dass $H$ eine holomorphe Fortsetzung von [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] auf ganz [mm] $B_r(z_0)$ [/mm] ist. Damit kannst du also [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] auf jedem $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $g(z) = 0$ holomorph fortsetzen und erhaelst so eine ganze Funktion [mm] $\frac{f}{g} [/mm] : [mm] \IC \to \IC$.
[/mm]
(Das war im Prinzip der Beweis des Riemannschen Hebbarkeitssatzes.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 11.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felix,
danke für deine ausführliche Antwort. Sie hilft mir echt sehr viel!
Die Funktion h(z) = [mm] \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] ist holomorph, weil doch f(z) und g(z) holomorph sind oder? h(z) ist auch beschränkt, denn |h(z)| = | [mm] \bruch{f(z)}{g(z)}| [/mm] = [mm] \bruch{|f(z)|}{|g(z)|} \le [/mm] 1
Also ist h konstant nach Liouville.
Richtig?
Dann hast du geschrieben: h(z) = [mm] \lambda [/mm] für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Daraus folgt dann doch das, was zu zeigen war oder? Also f(z) = [mm] \lambda [/mm] g(z) [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
> So. Wenn du das hast, zurueck zum Problem: Was machen wir
> mit den Stellen, wo [mm]g(z) = 0[/mm] ist? Sei [mm]z_0[/mm] mit [mm]g(z_0) = 0[/mm]
> und [mm]r > 0[/mm] ein Radius so, dass [mm]g[/mm] auf [mm]B_r(z_0)[/mm] (Kreis um [mm]z_0[/mm]
> mit Radius [mm]r[/mm]) keine weitere Nullstelle ausser [mm]z_0[/mm] hat
> (warum geht das?).
Weil die Nullstellenmenge von g diskret ist? Dann sind doch die Nullstellen voneinander isoliert, also kann man so eine Kreisscheibe [mm] B_r(z_0) [/mm] um die Nullstelle [mm] z_{0} [/mm] bilden oder?
>
> Schau dir mal die Hilfsfunktion [mm]h(z) := \frac{f(z)}{g(z)} (z - z_0)[/mm]
> an fuer [mm]z \neq z_0[/mm] und [mm]h(z_0) := 0[/mm]. Sie ist auf [mm]B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}[/mm]
> holomorph und auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm] stetig (warum?). Kennst du
> jetzt einen Satz, der besagt, dass [mm]h[/mm] auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm]
> holomorph ist? (Das muesst ihr gehabt haben!)
Ich weiß nicht, warum das auf ganz [mm] B_r(z_0) [/mm] stetig ist...
Aber der Satz, der besagt, dass h auf ganz [mm] B_r(z_0) [/mm] holomorph ist, ist doch der Riemannsche Fortsetzngssatz oder?
>
> Wenn du das hast, nimm eine Potenzreihenentwicklung von [mm]h[/mm]
> in [mm]z_0[/mm], etwa [mm]h(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z - z_0)^k[/mm]. Da
> [mm]h(z_0) = 0[/mm] ist muss [mm]a_0 = 0[/mm] sein. Jetzt betrachte die
> Funktion [mm]H(z) := \sum_{k=0}^\infty a_{k+1} (z - z_0)^k[/mm]
> (also ist [mm]H(z) \cdot (z - z_0) = h(z)[/mm]). Behauptung: Auf
> [mm]B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}[/mm] stimmen [mm]H(z)[/mm] und
> [mm]\frac{f(z)}{g(z)}[/mm] ueberein. Das musst du jetzt zeigen.
Ich versteh nicht, warum H(z) und h(z) gleich sein sollen. Und wie man auf das H(z) kommt.
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Vielen Dank,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> Die Funktion h(z) = [mm]\bruch{f(z)}{g(z)}[/mm] ist holomorph, weil
> doch f(z) und g(z) holomorph sind oder?
Aber nur, solange $g(z) [mm] \neq [/mm] 0$ ist! Was willst du denn machen, wenn $g(z) = 0$ ist? Wie willst du dann [mm] $\frac{f(z)}{g(z)}$ [/mm] definieren?
> h(z) ist auch
> beschränkt, denn |h(z)| = | [mm]\bruch{f(z)}{g(z)}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|f(z)|}{|g(z)|} \le[/mm] 1
> Also ist h konstant nach Liouville.
> Richtig?
Prinzipiell ja.
> Dann hast du geschrieben: h(z) = [mm]\lambda[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> Daraus folgt dann doch das, was zu zeigen war oder? Also
> f(z) = [mm]\lambda[/mm] g(z) [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm]
Genau.
> > So. Wenn du das hast, zurueck zum Problem: Was machen wir
> > mit den Stellen, wo [mm]g(z) = 0[/mm] ist? Sei [mm]z_0[/mm] mit [mm]g(z_0) = 0[/mm]
> > und [mm]r > 0[/mm] ein Radius so, dass [mm]g[/mm] auf [mm]B_r(z_0)[/mm] (Kreis um [mm]z_0[/mm]
> > mit Radius [mm]r[/mm]) keine weitere Nullstelle ausser [mm]z_0[/mm] hat
> > (warum geht das?).
>
> Weil die Nullstellenmenge von g diskret ist? Dann sind doch
> die Nullstellen voneinander isoliert, also kann man so eine
> Kreisscheibe [mm]B_r(z_0)[/mm] um die Nullstelle [mm]z_{0}[/mm] bilden oder?
Genau.
> > Schau dir mal die Hilfsfunktion [mm]h(z) := \frac{f(z)}{g(z)} (z - z_0)[/mm]
> > an fuer [mm]z \neq z_0[/mm] und [mm]h(z_0) := 0[/mm]. Sie ist auf [mm]B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}[/mm]
> > holomorph und auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm] stetig (warum?). Kennst du
> > jetzt einen Satz, der besagt, dass [mm]h[/mm] auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm]
> > holomorph ist? (Das muesst ihr gehabt haben!)
>
> Ich weiß nicht, warum das auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm] stetig ist...
Also ausserhalb von [mm] $z_0$ [/mm] ist das sicher stetig, da es dort holomorph ist. Bleibt also der Punkt [mm] $z_0$. [/mm] Du musst zeigen, dass [mm] $\lim_{z\to z_0} h(z_0) [/mm] = 0$ ist. Aber das ist ganz einfach.
> Aber der Satz, der besagt, dass h auf ganz [mm]B_r(z_0)[/mm]
> holomorph ist, ist doch der Riemannsche Fortsetzngssatz
> oder?
Also kennst du den Riemannschen Fortsetzungssatz doch?!
Der Riemannsche Fortsetzungssatz besagt: Ist $f$ auf [mm] $B_r(z_0)$ [/mm] stetig und auf [mm] $B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] holomorph und beschraenkt, so kann $f$ holomorph in [mm] $z_0$ [/mm] fortgesetzt werden.
> > Wenn du das hast, nimm eine Potenzreihenentwicklung von [mm]h[/mm]
> > in [mm]z_0[/mm], etwa [mm]h(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z - z_0)^k[/mm]. Da
> > [mm]h(z_0) = 0[/mm] ist muss [mm]a_0 = 0[/mm] sein. Jetzt betrachte die
> > Funktion [mm]H(z) := \sum_{k=0}^\infty a_{k+1} (z - z_0)^k[/mm]
> > (also ist [mm]H(z) \cdot (z - z_0) = h(z)[/mm]). Behauptung: Auf
> > [mm]B_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}[/mm] stimmen [mm]H(z)[/mm] und
> > [mm]\frac{f(z)}{g(z)}[/mm] ueberein. Das musst du jetzt zeigen.
>
> Ich versteh nicht, warum H(z) und h(z) gleich sein sollen.
> Und wie man auf das H(z) kommt.
Also $H$ und $h$ sind auch nicht gleich: Es gilt $H(z) [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] z_0) [/mm] = h(z)$!
Wie man auf das $H$ kommt? Na, $h(z) = (z - [mm] z_0) \cdot \frac{f(z)}{g(z)}$ [/mm] ausserhalb von [mm] $z_0$. [/mm] Wenn man jetzt $h$ in [mm] $z_0$ [/mm] holomorph fortgesetzt hat (durch die funktion $H$), kann man wohl vermuten, dass $H/(z - [mm] z_0) [/mm] = [mm] \frac{f}{g}$ [/mm] ist...
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 11.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felixf,
ich wusste nicht, dass der Riemannsche Fortsetzungssatz dasselbe ist der Hebbarkeitssatz :)
Aber vielen Dank für deine Hilfe. Du hast mir sehr geholfen.
Liebe Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> ich wusste nicht, dass der Riemannsche Fortsetzungssatz
> dasselbe ist der Hebbarkeitssatz :)
Den Namen `Riemannschen Fortsetzungssatz' hab ich bisher dafuer noch nie gehoert (und auch sonst nicht)... Tja, so haben wir beide heute was neues gelernt 
LG Felix
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