Holomorphe Fortsetzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Blubie |
Hallo, mir ist zwar klar, was eine holomorphe Fortsetzung ist, jedoch weiß ich nicht, wie ich zeige, dass eine Funktion holomorph fortsetzbar ist. Wir hatten beispielsweise folgende Aufgabe + Lösung:
Aufgabe: Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(z^{k*n}), [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] fest. Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius 1 ist und bestimmen sie die maximale Menge, auf der f holomorph fortsetzbar ist.
Lösung: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(z^{k*n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z^{k}} [/mm] für |z|<1. Holomorph fortsetzbar auf [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{z \in \IC | z^{k} = 1\}.
[/mm]
Welcher Zusammenhang besteht nun überhaupt zwischen Konvergenzradius und holomorpher Fortsetzung und wieso sagt mir hier einfach |z|<1. Das wurde doch überhaupt nicht vorausgesetzt? Wie geht man allgemein vor, wenn man holomorph fortsetzen möchte?
Vielen Dank im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Fr 03.08.2012 | | Autor: | hippias |
Ich schaetze hier wurde so vorgegangen: Der Definitionsbereich fuer die Funktion [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(z^{k*n})$ [/mm] wird durch den Konvergenzradius gegeben. Um einen Kandidaten fuer eine Fortsetzungsfunktion zu erhalten, hat man die Gleichung [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(z^{k*n})= \bruch{1}{1-z^{k}}$ [/mm] hergeleitet,die aber nur fuer $|z|<1$ gueltig ist. Die rechte Seite der Gleichung ist nun eine holomorphe Funktion, deren Definitionsbereich sogar [mm] $\IC\backslash \{z \in \IC | z^{k} = 1\}$ [/mm] ist, mithin also eine holomorphe Fortsetzung darstellt.
Man haette sicher auch auf die Fortsetzung kommen koennen, ohne sich Gedanken zur Konvergenz der Reihe zu machen, aber das waere sicher nicht ganz sauber: Es ist doch schoener wenn man weiss, dass die fortzusetzende Funktion wenigstens irgendwo definiert ist.
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