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| Aufgabe | | [mm] f(z) = \summe_{i=1}^{n} (\frac {z}{2})^n [/mm] |
Hallo,
ich schließe mich der Potenzreihenrunde mal an mit folgender Frage:
Ich soll prüfen,ob die oben gegebene Funktion auf [mm]\mathbb {C}\setminus\{2\}[/mm] holomorph fortgesetzt werden kann.
Konvergenzradius habe ich bestimmt, aber an der Fortsetzung hakts zwecks mangelnder Methoden etwas.
Lieben dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 17.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]f(z) = \summe_{i=1}^{n} (\frac {z}{2})^n[/mm]
Du meinst vermutlich eher [mm] $\sum_{n=1}^\infty (\frac{z}{2})^n$? [/mm] Oder [mm] $\sum_{n=0}^\infty (\frac{z}{2})^n$
[/mm]
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> Hallo,
>
> ich schließe mich der Potenzreihenrunde mal an mit
> folgender Frage:
> Ich soll prüfen,ob die oben gegebene Funktion auf [mm]\mathbb {C}\{2}[/mm]
> holomorph fortgesetzt werden kann.
> Konvergenzradius habe ich bestimmt, aber an der
> Fortsetzung hakts zwecks mangelnder Methoden etwas.
Die Fortsetzbarkeit auf grosse Gebiete zu beweisen ist i.A. nicht so einfach, hier geht es jedoch recht einfach. Und zwar kannst du eine rationale Funktion angeben, die auf [mm] $\IC \setminus \{ 2 \}$ [/mm] definiert ist und auf dem Konvergenzbereich der Potenzreihe mit dieser übereinstimmt.
Vergleiche dazu doch mal $g(w) = [mm] \sum_{n=0}^\infty w^n$; [/mm] hierzu solltest du direkt eine rationale Funktion in $w$ hinschreiben können.
LG Felix
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Ja, hab die falsche obere Grenze eingetippt, entschuldigung dafür.
Gehe ich für die Funktion recht in der Annahme, dass es etwas in Richtung
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \frac {\omega^n}{\omega-2} [/mm] sein wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 17.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Idee war die Funktion als einfache rationale Funktion zu schreiben, die innerhalb der KR mit der Reihe identisch ist, abe auch ausserhalb definiert ist.
wie kommst du denn auf deine fkt, die mit der ursprünglichen ja nichts zu tun hat?
Gruss leduart
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Ich hab das ganze so verstanden, dass es um eine zweite Reihe geht, die auf ganz [mm]\mathbb {C} [/mm] konvergent ist, und in 2 eine Singularität hat, weil sonst die Einschränkung keinen Sinn machen würde(und die mit der gegebenen Potenzreihe übereinstimmt).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 17.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Berechne doch mal dir reihensumme der gegebenen reihe.
Fred
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Wir haben das damals über Partialsummen berechnet, damit krieg ich keinen festen Wert raus, sondern einen unschönen Term, der wie folgt aussieht (falls ich mich nicht verrechnet habe):
[mm]\summe_{n=0}^{m} (\frac {x}{2})^n = -\frac {2^{-m}(2^{m+1}-x^{m+1})} {x-2} [/mm]
Ich nehme nicht an, dass du das mit Reihensumme meintest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 So 17.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du wirklich den Wert der geometrischen Reihe nicht? Dann sieh das in wiki mit Beweis nach, da es eine schlimme Lücke ist. aber wenn du deine Klammer oben ausmultiplizierst und x/2<1 setzt kannst du auch den GW finden.
Gruß ledum
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Okay, auf beiden Wegen gemacht und getan, ergibt sich ein Grenzwert von 2.
Ich lasse mich immer extrem leicht verunsichern, deswegen entschuldigt wenn ich das als Frage formuliere, aber wäre dann nicht
[mm] \frac {1} {1-x/2} [/mm] eine passende rationale Funktion? (solange x passend gewählt ist)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay, auf beiden Wegen gemacht und getan, ergibt sich ein
> Grenzwert von 2.
> Ich lasse mich immer extrem leicht verunsichern, deswegen
> entschuldigt wenn ich das als Frage formuliere, aber wäre
> dann nicht
> [mm]\frac {1} {1-x/2}[/mm] eine passende rationale Funktion?
> (solange x passend gewählt ist)
Ja, für $x [mm] \in \mathbb {C}\setminus\{2\} [/mm] $
Schreibe aber lieber z statt x.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Killercat |
Okay, vielen Dank für eure Hilfe :)
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