Holomorphe Fkt. und Identitäts < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 22.08.2007 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | Es sind D [mm] \subseteq \IC [/mm] ein Gebiet und f,g [mm] \in [/mm] O(D) (= Menge der holomorphen Funktionen auf D) holomorphe Funktionen über D mit f*g=0.
a) Zeigen Sie, dass f=0 oder g=0 ist!
b) Gilt die Aussage von a) auch für beliebige offene Mengen D [mm] \subseteq \IC [/mm] ? |
Hallo zusammen.
Ich benötige dringend eine Lösung bzw. einen Lösungsansatz für die Aufgabe!
Habe bereits eine mögliche gefunden: demnach ist die Menge der holomorphen Funktionen ein nullteilerfreier Ring. Aus der Nullteilerfreiheit würde dann direkt die Behauptung folgen. Das ist allerdings "zu einfach", wie mein Prof meint.
Ich habe auf Wikipedia.de einen Hinweis auf den Identitätssatz gefunden, aus dem ich jedoch nicht schlau werde.
Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen!?!
Jetzt schon mal meinen ausdrücklichen Dank!!!
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sind D [mm]\subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und f,g [mm]\in[/mm] O(D) (=
> Menge der holomorphen Funktionen auf D) holomorphe
> Funktionen über D mit f*g=0.
> a) Zeigen Sie, dass f=0 oder g=0 ist!
> b) Gilt die Aussage von a) auch für beliebige offene
> Mengen D [mm]\subseteq \IC[/mm] ?
> Hallo zusammen.
>
> Ich benötige dringend eine Lösung bzw. einen Lösungsansatz
> für die Aufgabe!
> Habe bereits eine mögliche gefunden: demnach ist die Menge
> der holomorphen Funktionen ein nullteilerfreier Ring. Aus
> der Nullteilerfreiheit würde dann direkt die Behauptung
> folgen. Das ist allerdings "zu einfach", wie mein Prof
> meint.
> Ich habe auf Wikipedia.de einen Hinweis auf den
> Identitätssatz gefunden, aus dem ich jedoch nicht schlau
> werde.
>
> Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen!?!
Zu a) Die Nullstellen einer holomorphen Funktion [mm] $\neq [/mm] 0$ sind isoliert. Anders herum formuliert: besitzt eine holomorphe Funktion einen Häufungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] von Nullstellen, der selbst im Gebiet $D$ liegt, dann ist diese Funktion auf ganz $D$ identisch $0$.
Sei also etwa [mm] $z_0\in [/mm] D$. Wegen [mm] $f\cdot [/mm] g=0$ ist [mm] $z_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von Nullstellen von [mm] $f\cdot [/mm] g$.
Angenommen $f$ wäre in $D$ nicht identisch $0$ (sonst gilt die Behauptung schon), dann müsste [mm] $z_0$ [/mm] eine isolierte Nullstelle von $f$ sein. Also muss $g$ für alle $z$, [mm] $\neq z_0$, [/mm] einer gewissen Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] gleich $0$ sein, besitzt somit den Häufungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] von Nullstellen und ist deshalb selbst identisch $0$.
Zu b) Der Beweis von a) gilt nur für jede Zusammenhangskomponente der fraglichen offenen Menge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 22.08.2007 | | Autor: | tb1804 |
Ahhh, jetzt klingelt es!
Hatte zwar den Zusammenhang zum Id-Satz bereits vermutet, aber so macht es für mich erst richtig Sinn.
Vielen Dank!!!
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> Ahhh, jetzt klingelt es!
> Hatte zwar den Zusammenhang zum Id-Satz bereits vermutet,
> aber so macht es für mich erst richtig Sinn.
> Vielen Dank!!!
Deine ursprüngliche Frage scheint also beantwortet zu sein: ich schreibe dies nur, um den Fragestatus Deiner Antwort von "offen" auf "beantwortet" zu setzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 27.08.2007 | | Autor: | deibansi |
Warum muss dann g für alle z, [mm] \not= z_{0}, [/mm] einer gewissen Umgebung von [mm] z_{0} [/mm] gleich 0 sein?
(Der Rest der Argumentation ist soweit für mich nachvollziehbar.)
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> Warum muss dann g für alle z, [mm]\not= z_{0},[/mm] einer gewissen
> Umgebung von [mm]z_{0}[/mm] gleich 0 sein?
>
> (Der Rest der Argumentation ist soweit für mich
> nachvollziehbar.)
Ich hab's wohl nicht so glücklich formuliert. Ich versuch's nochmals: Da wir angenommen haben, dass $f$ im Gebiet nicht identisch $0$ ist (andernfalls würde die Behauptung schon gelten), durften wir annehmen, dass es eine isolierte Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] von $f$ gibt. Also muss $f$ in einer gewissen punktierten Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] ungleich $0$ sein. Da aber nach Voraussetzung das Produkt [mm] $f\cdot [/mm] g$ im ganzen Gebiet, also auch in der betreffenden punktierten Umgebung von [mm] $z_0$, [/mm] gleich $0$ ist, muss dort $g(z)=0$ sein (wegen der Nullteilerfreiheit von [mm] $\IC$). [/mm] Also hat $g$ im fraglichen Gebiet den Häufungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] von Nullstellen und muss demnach im ganzen Gebiet identisch verschwinden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 27.08.2007 | | Autor: | deibansi |
Vielen, vielen Dank! Jetzt habe ich verstanden.
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