Hölder-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 16.12.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist die Funktion [mm] f_{n}:[0, \infty) \to \IR, f_{n}(x)=x^{\bruch{1}{n}} [/mm] 1/n-Hölder-Stetig. |
Hallo,
ich weiß, wie die Alpha-Hölder-Stetigkeit definiert ist, aber irgendwie scheitere ich bei dieser Aufgabe. Über jeden Ansatz und jede Idee bin ich sehr dankbar.
Ich danke euch!
Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 16.12.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
es muss ja folgendes gezeigt werden:
[mm] |x^{\bruch{1}{n}} [/mm] - [mm] y^{\bruch{1}{n}}| [/mm] <= [mm] M|x-y|^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Wie könnte ich denn das zeigen?
Hätte diesen Doppelpost nicht geschrieben, wenn es nicht dringend wäre. Dafür sorryy.. :)
Grüße kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiri!
> es muss ja folgendes gezeigt werden:
>
> [mm]|x^{\bruch{1}{n}}[/mm] - [mm]y^{\bruch{1}{n}}|[/mm] <=
> [mm]M|x-y|^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> Wie könnte ich denn das zeigen?
Zunächst kannst du o.B.d.A. x>y annehmen (denn für x<y musst ändert sich ja nichts).
Dann würde ich beide Seiten hoch n nehmen und die linke Seite als
[mm](x^{1/n}-y^{1/n})^n = \summe_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} x^{k/n} y^{(n-k)/n} [/mm]
schreiben. Zerlege die Summe in positive und negative Anteile
[mm] \summe_{\substack{k=0\\\text{$k$ gerade}}}^n {n \choose k} x^{k/n} y^{(n-k)/n} - \summe_{\substack{k=1\\\text{$k$ ungerade}}}^n {n \choose k} x^{k/n} y^{(n-k)/n}[/mm]
und schätze die beiden Teile getrennt ab.
Hinweis: [mm] \summe_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 16.12.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo Rainer,
vielen Dank für den Hinweis. Ich glaube, ich habs jetzt.
Danke!!!!
Aber wie kommt man auf diesen "Trick", das Ganze als Reihe darzustellen? Erfahrung? Können?
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiri!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für den Hinweis. Ich glaube, ich habs jetzt.
> Danke!!!!
>
> Aber wie kommt man auf diesen "Trick", das Ganze als Reihe
> darzustellen? Erfahrung? Können?
Erfahrung spielt sicher eine Rolle. In diesem Fall bot sich der binomische Lehrsatz an, um [mm](x^{1/n}-y^{1/n})^n[/mm] auszurechnen.
Viele Grüße
Rainer
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