Höhere Mathematik II < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:46 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der Funktion
z = f(x, y) = [mm] (x^3-3x)(y [/mm] + 3) + y (y + 6) . |
Hallo,
weiß jemand die Lösung zu dieser Aufagbe + Lösungsweg?
Ihr würdet mir echt helfen. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> 1. Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der
> Funktion
> z = f(x, y) = [mm](x^3-3x)(y[/mm] + 3) + y (y + 6) .
> Hallo,
> weiß jemand die Lösung zu dieser Aufagbe + Lösungsweg?
> Ihr würdet mir echt helfen. Danke
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Du Dir einmal die Forenregeln durchliest, wirst Du feststellen, daß wir Wert auf eigene Lösungsansätze bzw. konkrete Fragen legen.
Fix und fertig vorrechnen tun wir in der Regel nicht - aber helfen tun wir gern.
Du mußt bei der Aufgabe erstmal partiell ableiten nach x und y.
Die beiden partiellen Ableitungen werden dann =0 gesetzt und das System nach x und y aufgelöst.
Das liefert Dir die kritischen Punkte, die Punkte, an denen Extremwerte vorliegen können.
Danach können wir dann weitersehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Also die partitiellen Ableitungen sind:
[mm] f'(x)=3yx^2-3y+9x^2-9 [/mm] --> x=+-1
und
[mm] f'(y)=x^3-3x+2y+6 [/mm] --> [mm] y=-x^3/2+1,5x+3
[/mm]
und jetzt?
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> Also die partitiellen Ableitungen sind:
> [mm]f(x)=3yx^2-3y+9x^2-9[/mm]
> und
> [mm]f(y)=x^3-3x+2y+6[/mm]
>
> und jetzt beide null setzten und dann?
Zunächst dieses Gleichungssystem lösen.
Dann mit Hilfe der zweiten partiellen Ableitunen prüfen, ob ein Extremum vorliegt, und gegebenfalls bestimmen welche Art von Extremum vorliegt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
also jetzt f'(x) nach x auflösen und f'(y) nach y auflösen richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> also jetzt f'(x) nach x auflösen und f'(y) nach y auflösen
> richtig?
Eine Gleichung kannst Du nach x auflösen, falls das möglich ist, dannin die andere einsetzen. Sonst eben nach y auflösen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
für f'(x)=0 hab ich x=+-1
wenn ich das in f'(y) einsetzte komm ich wieder auf 2 gleichungen
also:
[mm] f'(y)=x^3-3x+-2+6
[/mm]
und wie weiter
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast
[mm] 0=3yx^{2}+9x^{2}-3y-9
[/mm]
[mm] 0=x^{3}-3x+2y+6
[/mm]
aus der 2. Gleichung erhälst du
[mm] y=-\bruch{1}{2}x^{3}+\bruch{3}{2}x-3
[/mm]
jetzt in 1. Gleichung einsetzen
[mm] 0=-\bruch{3}{2}x^{5}+6x^{3}-\bruch{9}{2}x
[/mm]
Ausklammern und Substitution
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Lösen durch Substitution:
[mm] -1,5z^2+6z-4,5=0
[/mm]
z1=1 x1= +-sqrt1
z2=3 x1=+-sqrt3
x3=0
jetzt in die zweite ableitung einsetzen und es ergibt sich das +-sqrt 3 relative extrema sind aber das ist doch falsch
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> Lösen durch Substitution:
> [mm]-1,5z^2+6z-4,5=0[/mm]
> z1=1 x1= +-sqrt1
> z2=3 x1=+-sqrt3
> x3=0
> jetzt in die zweite ableitung einsetzen und es ergibt sich
> das +-sqrt 3 relative extrema sind aber das ist doch falsch
Die erhaltenen x-Werte musst Du dann noch in diese Gleichung einsetzen:
[mm]y=-\bruch{1}{2}x^{3}+\bruch{3}{2}x-3[/mm]
Dann kannste das auf mögliche Extrema prüfen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 06.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Hallo MathePower,
du meinst ich soll x=+-sqrt1 , x=+-sqrt3 und x=0 in die gleichung einsetzen?Aber dann komt doch raus y= 'eine bestimmte'
sorry aber ich häng grad
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> Hallo MathePower,
> du meinst ich soll x=+-sqrt1 , x=+-sqrt3 und x=0 in die
> gleichung einsetzen?Aber dann komt doch raus y= 'eine
> bestimmte'
> sorry aber ich häng grad
Richtig.
Da Du ja die Funktion [mm]z\left(x,y\right)[/mm] auf Extrema untersuchst, benötigst Du auch Punktepaare [mm]\left(x|y\right)[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Tut mir leid aber ich denke ihr müsst mir dasmal vorrechnen, denn wir hatten das noch gar nicht dran oder werden es nicht dran haben. ich bin wie gesagt mathe gk. ich interessier mich aber sehr für mathe und bräuchte dafür sozusagen mal ne Musterlösung, damit ich zukünftig auch selber die aufgaben lösen kann. Das wäre echt super!
Gruß Hejo
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich sammle mal zusammen, was Du bisher hast:
Du suchst die relativen Extremwerte von z = f(x, y) = $ [mm] (x^3-3x)(y [/mm] $ + 3) + y (y + 6) .
Diese Funktion ist nicht wie gewohnt irgendeine "Linie" über bzw. unter der x-Achse, sondern ein "Gebirge" über der xy-Ebene.
Für dessen Gipfel und Talsohlenr interessierst Du Dich.
Du hast zuerst die partiellen Ableitungen nach x und y berechnet (ich rechne jetzt nichts nach.):
$ [mm] f_x(x,y)=3yx^2-3y+9x^2-9 [/mm] $
und
$ [mm] f_y(x,y)=x^3-3x+2y+6 [/mm] $ .
Die partiellen Ableitungen werden =0 gesetzt:
$ [mm] 0=3yx^2-3y+9x^2-9 [/mm] $
$ [mm] 0=x^3-3x+2y+6 [/mm] $
Dieses GS muß nun gelöst werden, Du erhältst dann die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen können.
Du hattest für x 0, [mm] \pm1, \pm\wurzel{3} [/mm] errechent, hierfür brauchst Du noch die paasenden y-Werte.
Aus der 2. Gleichung bekommst Du: [mm] y=0.5(3x-x^3-6).
[/mm]
Indem Du hier nun die x-Werte einsetzt, bekommst Du die passenden y-Werte.
x=0 ==> y= -3, also (0, -3)
x=1 ==> y=-2, also (1, -2)
usw.
Soweit warst Du bisher schon, bloß daß Du irgendwie nicht die y-Werte ausrechnen wolltest.
Als nächstes stellt man die Hessematrix auf (2.partielle Ableitungen), untersucht die Hessematrix an die kritischen Punkten und zieh hieraus dann Schlüsse auf die Art der Extrema.
Der nächste Schritt, den Du tun mußt, ist also das Aufstellen der Hessematrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Dankeschön Angela!
Ich nur noch ein Problem: Was ist eine Hessematrix?
Kennst du oder ihr irgendwelche seiten auf denen man nachlesen kann wie man funktionen mit mehreren variablen untersucht?
Hejo
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> Dankeschön Angela!
> Ich nur noch ein Problem: Was ist eine Hessematrix?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix
> Kennst du oder ihr irgendwelche seiten auf denen man
> nachlesen kann wie man funktionen mit mehreren variablen
> untersucht?
Leider kenne ich keine solche Seiten, wo man das nachlesen kann.
Im Fall der Funktion [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm] ist das so:
Die Bedinungsgleichungen lauten, wie Du schon festgestellt hast:
[mm]f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)=0[/mm]
[mm]f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)=0[/mm]
Die so erhaltenen Punkte untersucht man nun weiter mit der Hesse-Matrix:
[mm]H\left(z\right)=\pmat{f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) & f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right) \\ f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right) & f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)}[/mm]
Gilt nun [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)-\left(f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)\right)^2 > 0[/mm]
und [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) > 0, \ f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right) > 0[/mm] dann liegt ein lokales Minimum vor.
Ist [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) < 0, \ f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right) < 0[/mm], so liegt ein lokales Maximum vor.
Gilt hingegen [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)-\left(f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)\right)^2 < 0[/mm], so ist der beteffende Punkt ein Sattel- oder Jochpunkt.
Ist [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)-\left(f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)\right)^2 = 0[/mm], so kann nicht entschieden werden ob ein Extremwert vorliegt oder nicht.
> Hejo
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Hejo |
Danke für eure Mühe, aber ich gebs erstmal auf mit solchen aufgaben!
Was mich noch interessiert, gehört so eine Aufgabe noch zur Schulmathematik oder kommt so was erst zum Studium dran?
Gruß Hejo
|
|
|
| |
|
> Danke für eure Mühe, aber ich gebs erstmal auf mit solchen
> aufgaben!
Hallo,
zweidimensional sieht das Ganze nicht so wild aus.
Ich finde diese Seiten recht gut, weil unten auch immer ein einfaches Beispiel gerechnet wird, anhand dessen man oft besser versteht, was man tun soll.
> Was mich noch interessiert, gehört so eine Aufgabe noch
> zur Schulmathematik oder kommt so was erst zum Studium
> dran?
Wenn Du noch zur Schule gehst, ist's harte Kost.
Es ist kein Schulstoff, sondern es kommt im Studium, meist im 2. Mathematiksemester.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Hejo |
> Wenn Du noch zur Schule gehst, ist's harte Kost.
> Es ist kein Schulstoff, sondern es kommt im Studium, meist
> im 2. Mathematiksemester.
OK, dann ist es also normal das ich hier nich ganz durchsteige, denn in der Schule rechnen wir nur mit einfachen Aufgaben (nur eine variable).
Danke für den Link werd mir die seite denk heut noch durchlesen.
Gruß Hejo
|
|
|
|
