Höhensatz des Euklid < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie: Unter allen umfangsgleichen rechtecken besitzt das Quadrat den größten Flächeninhalt. ( Beachten Sie, dass beim Höhensatz des Euklid die hypotenuse des rechtwinkligen Dreieks mit dem halben Umfang des Rechtecks übereinstimmt) |
Hallo,
ich brächte dringen Hilfe bei dieser Aufgabe, denn so ganz steige ich einfach nicht dahinter.
Meine bisherige Überlegung:
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Höhensatz des Euklid( [mm] h²=p\*q)
[/mm]
d.h. dass das Quadrat mit der Seite h flächengleich ist mit einem Rechteck, das die seiten p und q besitzt.
Jetzt muss ich umgekehrt zeigen, dass unter allen flächengleichen Rechtecken das Quadrat das Rechteck mit dem kleinsten Umfang ist.
Dabei darf ich aber nur die Kentnisse verwenden, die mir der Satz des Euklid vermittelt.
So weiter komme ich einfach nicht....
Für einen Denkanstoß bzw. etwas Unterstützung wäre ich euch sehr dankbar.
L.G.
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Hallo Windbeutel,
Du wirst auch noch den ![[]](/images/popup.gif) Thaleskreis dazu benötigen.
Wenn die Hypotenuse vor Dir liegt und Du darüber den Thales(halb)kreis konstruierst, dann deutest Du hier die Hypotenuse als Summe zweier benachbarter Seiten(längen) eines Rechtecks. Seine Fläche ist gleich dem Quadrat der Höhe über dem Teilungspunkt.
Die größte Fläche wird natürlich dann erreicht, wenn die größtmögliche Höhe errichtet wird. Mit Hilfe des Thaleskreises ist dieser Punkt ja leicht zu finden. 
lg
reverend
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Hm, ich hab mir das nun seit gestern durch den Kopf gehen lassen.
Klar ist mir, dass der höchste Punkt im Thaleskreis nun der schnittpunkt der mittelsenkrechten der Hypotenuse mit dem Thaleskreis ist, aber ich kann einfach keine weiteren schlussfolgerungen aus den bisherigen Informationen ziehen.
Sorry, bei dieser Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch.
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Hallo,
> Klar ist mir, dass der höchste Punkt im Thaleskreis nun
> der schnittpunkt der mittelsenkrechten der Hypotenuse mit
> dem Thaleskreis ist
Ja, genau. Diese Mittelsenkrechte ist also zugleich die größtmögliche Höhe.
> ..., aber ich kann einfach keine weiteren
> schlussfolgerungen aus den bisherigen Informationen
> ziehen.
Damit bist Du doch eigentlich fertig. Die Mittelsenkrechte teilt die Hypotenuse (c) in zwei gleiche Teile (p=q), wobei beide genauso lang sind wie der Radius des Thaleskreises [mm] (r=\tfrac{1}{2}c). [/mm] Ebenso lang ist die gefundene Höhe h.
Es ist also [mm] h^2=pq=r^2=\bruch{1}{4}c^2.
[/mm]
Das ist der größte Flächeninhalt, den ein Rechteck mit dem Umfang [mm] \blue{2}c [/mm] haben kann, nämlich dann, wenn es ein Quadrat ist.
> Sorry, bei dieser Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch.
Überleg Dir nochmal, was Du gezeigt hast, als Du die Mittelsenkrechte gefunden hast. Das ist doch genau das, was Du zeigen sollst.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 21.01.2010 | | Autor: | Windbeutel |
Danke dir, so langsam steige ich dahinter
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