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[Dateianhang nicht öffentlich]
| Aufgabe | Beweisen Sie den Höhensatz: h²=p*q
h,p,q bezeichnen die Längen der Höhe und der beiden Höhnabschnitte im rechtwinkligen Dreieck A,B,C. Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt. |
Lösungsweg:
[mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = 0
0 = [mm] |\vec{p}-\vec{h}| |-\vec{h}-\vec{q}|
[/mm]
= [mm] (\vec{p}-\vec{h}) (-\vec{h}-\vec{q})
[/mm]
= [mm] |\vec{h²}|-|\vec{h}||\vec{p}|+|\vec{h}||\vec{p}|-|\vec{p}||\vec{q}|
[/mm]
= [mm] |\vec{h²}| [/mm] - [mm] |\vec{p}||\vec{q}|
[/mm]
= [mm] \vec{h²} [/mm] - [mm] \vec{p}\vec{q} \gdw [/mm] h² = pq
Ist das ein, der Aufgabe entsprechend, korrekter Beweis?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Beweisidee ist korrekt, aber du hast einige Formalfehler drin.
Also:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=0
[/mm]
[mm] \gdw (\vec{h}-\vec{p})*(-\vec{h}-\vec{q})=0
[/mm]
[mm] \gdw -\vec{h}*\vec{h}+\overbrace{\vec{p}*\vec{h}}^{=0(da:\vec{p}\perp\vec{h})}-\overbrace{\vec{h}*\vec{q}}^{=0(da:\vec{p}\perp\vec{h})}+\vec{p}*\vec{q}=0
[/mm]
[mm] \gdw -\vec{h}*\vec{h}+\vec{p}*\vec{q}=0
[/mm]
[mm] \gdw \vec{h}*\vec{h}=\vec{p}*\vec{q}
[/mm]
[mm] \gdw h_{1}²+h_{2}²+...+h_{n}²=\red{p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+...+p_{n}q_{n}}
[/mm]
[mm] \gdw |\vec{h}|²=\red{|\vec{p}|*|\vec{q}|}
[/mm]
Als Nebenrechnung zu dem rot markierten Teil musst du noch zeigen, dass
[mm] |\vec{p}|*|\vec{q}|=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+...+p_{n}q_{n}
[/mm]
Also:
[mm] |\vec{p}|*|\vec{q}|
[/mm]
[mm] =\wurzel{p_{1}²+p_{2}²+...+p_{n}²}*\wurzel{q_{1}²+q_{2}²+...+q_{n}²}
[/mm]
[mm] =\vdots
[/mm]
[mm] =p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+...+p_{n}q_{n}
[/mm]
Marius
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> Als Nebenrechnung zu dem rot markierten Teil musst du noch
> zeigen, dass
> [mm]|\vec{p}|*|\vec{q}|=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+...+p_{n}q_{n}[/mm]
> Also:
> [mm]|\vec{p}|*|\vec{q}|[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{p_{1}²+p_{2}²+...+p_{n}²}*\wurzel{q_{1}²+q_{2}²+...+q_{n}²}[/mm]
> [mm]=\vdots[/mm]
> [mm]=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+...+p_{n}q_{n}[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
hallo Marius,
ich verstehe nicht, was deine [mm] h_1, [/mm] ... , [mm] h_n, p_1, [/mm] ... [mm] p_n, q_1, [/mm] ... , [mm] q_n
[/mm]
in diesem Beweis (in der Ebene) überhaupt sollen !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast recht, hier sind wir im [mm] \IR^{2}, [/mm] wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 24.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Beweisen Sie den Höhensatz: h²=p*q
> h,p,q bezeichnen die Längen der Höhe und der beiden
> Höhnabschnitte im rechtwinkligen Dreieck A,B,C. Verwenden
> Sie dazu das Skalarprodukt.
> Lösungsweg:
>
> [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] = 0
>
> 0 = [mm]|\vec{p}-\vec{h}| |-\vec{h}-\vec{q}|[/mm]
> =
> [mm](\vec{p}-\vec{h}) (-\vec{h}-\vec{q})[/mm]
> =
> [mm]|\vec{h²}|-|\vec{h}||\vec{p}|+|\vec{h}||\vec{p}|-|\vec{p}||\vec{q}|[/mm]
> = [mm]|\vec{h²}|[/mm] - [mm]|\vec{p}||\vec{q}|[/mm]
> = [mm]\vec{h²}[/mm] - [mm]\vec{p}\vec{q} \gdw[/mm] h² = pq
>
> Ist das ein, der Aufgabe entsprechend, korrekter Beweis?
ich hätte den gaul umgekehrt aufgezäumt.
mit deinen bezeichnungen hast du:
[mm] \vec{p}\cdot\vec{q}=(-\vec{h}-\vec{a})\cdot (-\vec{h}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{h}+h^2=h^2
[/mm]
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