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Hallo Leute!
Ein Wanderer möchte einen Berg mit dem Höhenprofil [mm]z(x,y) = \frac{h}{\rho_{0}^{2}} \cdot (\rho_{0}^{2} - x^2 - y^2) [/mm] erklimmen.
Er möchte einen Weg mit konstantem Höhenzuwachs [mm]\alpha[/mm] pro Schritt wählen. Ich soll dessen Pfad bestimmen.
Wenn man die x-y Ebene mit [mm](\rho, \phi)[/mm] in Polarkoordinaten parametrisiert ergibt sich für den Ortsvektor:
[mm]\vec{r} = (x(\rho,\phi),y(\rho,\phi),z(\rho,\phi))[/mm].
Ich soll nun die Koordinaten [mm](\rho, \phi)[/mm] als Funktion der Weglänge s ausdrücken. Und dann nach der Bedingung für die konstante Steigrate suchen.
Ich kann mir darunter nix vorstellen. Ich weiß nicht wo dieser Weg s auf einmal her kommt und wie ich die Koordinaten durch s ausdrücken kann.
Habt ihr einen Tipp für mich??
Ich wäre euch echt dankbar!
LG Matze
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich interpretiere das so:
Man hat eine vorgegebene Kurve, die der Wanderer geht gegeben. Dazu muss man, da man ja $z(x,y)$ kennt, den Weg in der x-y-Ebene kennen, weil man daraus ja die Bewegung im 3-D-Raum ausrechnen kann.
Nehmen wir an, der Weg sei durch [mm] $\vec{r}(x,y)=\pmat{x\\y\\z(x,y)}$ [/mm] gegeben. Wenn man diesen Weg geht, kann man ja die Länge des Weges ausrechnen. Schauen wir uns dazu einen infinitesimalen Schritt $ds$ an: [mm] $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$. [/mm]
D.h. die Weglänge, die man geht, ist das Integral über ds, also [mm] $s=\int\,ds$.
[/mm]
Wenn man jetzt zB einen vorgegebenen Weg geht, zB einen Weg, der von der Zeit abhängt, wie zB die Kreisbahn [mm] $\vec{r}(t)=\pmat{\cos\omega t\\ \sin\omega t}$ [/mm] anschauen, dann kann man dort den Weg ausrechnen, den man nach t Sekunden zurückgelegt hat mit oben gegebener Formel. D.h. man bekommt eine Funktion Zeit -> Weglänge bzw. zurückgelegte Strecke s(t). Wenn man das jetzt umkehrt, also ein $t(s)$ umformt, kann man sagen, wie viel Zeit man für eine zurückgelegte Strecke s braucht. Das ganze kann man dann wieder in [mm] $\vec{r}(t)$ [/mm] einsetzen, und erhält so eine Funktoin [mm] $\vec{r}(s)$. [/mm] Die Funktion sagt dir dann aus, an welchem Punkt man ist, wenn man die Strecke $s$ zurückgelegt hat.
Du sollst jetzt die Größen [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\rho$ [/mm] als Funktion von $s$ ausdrücken, d.h. der zurückgelgten Strecke. D.h. wenn man sagt: Ich habe jetzt einen Meter zurückgelegt und befinde mich an dem Punkt [mm] $\vec{r}(s=1\,\text{m})$, [/mm] wie groß ist dann [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\varphi$, [/mm] d.h. an welchem Punkt befinde ich mich dann letztendlich.
Denn wenn man dann den ganzen Weg [mm] $\vec{r}(s)$ [/mm] kennt, und man will, dass man bei jedem Schritt den selben Höhenzuwachs bekommt, d.h. also, dass [mm] $\frac{\Delta z}{\Delta s}=\text{const}$ [/mm] gilt, kann man das dann damit ausrechnen.
LG
Kroni
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