Höhe von Dreieck bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | VORAUSSETZUNGEN:
Bekannt sind:
- Satz des Pythagoras
- Lineare Gleichungen
- Steigung bei Drehung um 90°
- Flächenberechnung von Dreiecken und Rechtecken
- Schnittpunkt zweier Geraden (Lösen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten)
AUFGABE für 8./9. Klasse:
Gegeben ist das Dreieck A (1/1) , B (7/2) und C (2/5)
Berechne die Höhe [mm] h_{c}
[/mm]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe zwei völlig unterschiedliche Ansätze.
Ansatz A:
Fläche von Rechteck ADEF ermitteln.
Dann Flächen der gelben Dreiecke davon subtrahieren. So erhalte ich die Fläche des farbigen Dreiecks ABC.
Dann Länge von c ermitteln.
Nun kann man mit Hilfe der Dreiecks- Fläche und c die gesuchte Höhe [mm] h_{c} [/mm] rauskriegen.
Ansatz B:
Aus den Punkten A und B die Geraden-Gleichung g ermitteln.
Durch Punkt C geht die Senkrechte auf g (die ist gegenüber g um 90° gedreht).
Das ist die Gerade f. Somit kann man die Geraden-Gleichung zu f ermitteln.
In G schneiden sich f und g.
Mithilfe des Pythagoras kann man die Entfernung von zu G bestimmen. Das ist dann die gesuchte [mm] h_{c} [/mm]
Meine Frage zielt auf folgendes:
Ist es sinnvoller, Ansatz A oder Ansatz B zu nehmen?
Beide Wege sind zwar gangbar, scheinen aber für 8./9. Klasse recht langwierig zu sein. Die Aufgabe wurde allerdings ohne nähere Erläuterungen so gestellt.
Gibt es eventuell einen kürzeren Lösungsweg?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 29.01.2010 | | Autor: | abakus |
> VORAUSSETZUNGEN:
>
> Bekannt sind:
> - Satz des Pythagoras
> - Lineare Gleichungen
> - Steigung bei Drehung um 90°
> - Flächenberechnung von Dreiecken und Rechtecken
> - Schnittpunkt zweier Geraden (Lösen von 2 Gleichungen
> mit 2 Unbekannten)
>
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> AUFGABE für 8./9. Klasse:
>
> Gegeben ist das Dreieck A (1/1) , B (7/2) und C (2/5)
>
> Berechne die Höhe [mm]h_{c}[/mm]
>
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Ich habe zwei völlig unterschiedliche Ansätze.
>
> Ansatz A:
> Fläche von Rechteck ADEF ermitteln.
> Dann Flächen der gelben Dreiecke davon subtrahieren. So
> erhalte ich die Fläche des farbigen Dreiecks ABC.
> Dann Länge von c ermitteln.
> Nun kann man mit Hilfe der Dreiecks- Fläche und c die
> gesuchte Höhe [mm]h_{c}[/mm] rauskriegen.
>
> Ansatz B:
> Aus den Punkten A und B die Geraden-Gleichung g ermitteln.
> Durch Punkt C geht die Senkrechte auf g (die ist gegenüber
> g um 90° gedreht).
> Das ist die Gerade f. Somit kann man die Geraden-Gleichung
> zu f ermitteln.
> In G schneiden sich f und g.
> Mithilfe des Pythagoras kann man die Entfernung von zu G
> bestimmen. Das ist dann die gesuchte [mm]h_{c}[/mm]
>
>
> Meine Frage zielt auf folgendes:
>
> Ist es sinnvoller, Ansatz A oder Ansatz B zu nehmen?
>
> Beide Wege sind zwar gangbar, scheinen aber für 8./9.
> Klasse recht langwierig zu sein. Die Aufgabe wurde
> allerdings ohne nähere Erläuterungen so gestellt.
Irgendwann müssen unsere jungen Freunde ja auch mal an höhere Anforderungen herangeführt werden. Das beinhaltet auch, mit etwas Geduld einen mehrschrittigen Lösungsplan zu finden und abzuarbeiten.
Nachdem ich gerade in meinem Grundkurs zum dritten oder vierten Mal (mit zeitlichen Abständen dazwischen) eine solche Aufgabe gestellt habe, können es wenige. Andere können es noch nicht, schauen aber nicht mehr ganz so voll panischem Erschrecken wie beim ersten Mal auf diese "unzumutbar schwere" Aufgabe.
>
> Gibt es eventuell einen kürzeren Lösungsweg?
>
Kürzer ja, aber nicht leichter.
Man erstellt einen Term für den Abstand zwischen Punkt C und einem beliebigen Geradenpunkt (x|g(x)) auf und sucht in einer "Extremwertaufgabe" das Minimum des Abstands.
Das ist natürlich in Kl. 8/9 nicht mit Mitteln der Differenzialrechnung möglich.
Wenn man aber statt des Abstandes selbst das Abstandsquadrat untersucht, ist der Graph dieser Funktion eine quadratische Parabel, und die Extremwertbestimmung erfolgt in Form einer Scheitelpunktsbetimmung.
Dein Ansatz B ist DER didaktisch sinnvollste. Er fordert nichts schlimmes: Die Schüler müssen nur Schritt für Schritt kleinste "Aufgabenportionen" lösen und besitzen in der Regel die Fähigkeiten für jeden einzelnen erforderlichen Schritt.
Talentierte Schüler finden Variante A selbst oder können im Nachhinein auf diese recht elegante Variante hingewiesen werden.
Meine Variante ist nur sinnvoll, wenn man den Fokus auf Funktionsauswertung mit einem grafikfähigen Taschenrechner legen sollte.
Gruß Abakus
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