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Zeige:Ist f: [mm] \IN \mapsto [/mm] A surjektiv, so ist A höchstens abzählbar.
Lös:f: [mm] \IN\mapsto [/mm] A surjektiv [mm] \Rightarrow \forall a\in [/mm] A existiert
mindestens ein n [mm] \in \IN \Rightarrow
[/mm]
1.Fall: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A existiert genau ein n [mm] \in \IN [/mm] :n [mm] \mapsto [/mm] f(n)=a
[mm] \Rightarrow [/mm] f bij [mm] \Rightarrow [/mm] A abzählbar [mm] \infty. [/mm]
2.Fall: [mm] \exists a_{n+1} \in [/mm] A mit
[mm] g:\{k_{n+1},k_{n+1}+1,...k_{n+1}+l_{n+1}\} \mapsto a_{n+1}?
[/mm]
[mm] n\in\IN_{0}
[/mm]
k,l [mm] \in\IN [/mm]
[mm] n,l,k\le\infty [/mm]
[mm] k_{n+1}=k_{n}+l_{n}+1? [/mm]
[mm] n\mapsto f(n)=a_{n}, [/mm]
[mm] n\in \IN, [/mm]
[mm] n\le\infty \Rightarrow
[/mm]
abzählbar [mm] \le\infty \Rightarrow [/mm] höchstens abzählbar.
Meinen Aufschrieb aus der Vorlesung konnte ich nicht mehr richtig entziffern, deshalb die Fragezeichen nach Formulierungen die ich dadurch wohl nicht mehr verstehe.
Meine Überlegungen: Alle [mm] a_{k} \in [/mm] A haben ein oder mehrere n [mm] \in \IN. [/mm] Dann zählts die k mit fortschreitendem n weiter, auch wenn gelegentlich mehrere n aufs gleiche [mm] a_{k} [/mm] abbilden. Schlimmstenfalls weisen unendlich viele n aufs gleiche [mm] a_{k}, [/mm] dann müssen ab einem bestimmten [mm] a_{k} [/mm] alle n auf dieses [mm] a_{k} [/mm] abgebildet werden.
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1.)Zunächst: Sind meine Überlegungen richtig? Falls ja: Wie kann ich den letzten Satz mit einem Lehrsatz begründen?
2.)Wie formuliere ich den 2. Fall mathematisch formal richtig?
Vielen Dank im Voraus
Sigi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 03.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich hab jetzt ehrlich einige Zeit in deinen Beweis (wo auch immer du den herhast) reingesteckt und verstehe ihn beim besten Willen nicht (sieht auch sehr technisch aus). Du solltest auf jeden Fall daran arbeiten sowas verständlicher aufzuschreiben. Du hast versucht alles in "Mathspeak" hinzuschreiben (hab ich am Anfang auch gemacht weils cool aussah), aber versuch lieber Formeln nur dann einzusetzen, wenn sie die Lesbarkeit erhöhen, schließlich sind Formeln kein Selbstzweck. Ich mach mal ein Beispiel wie ich es geschrieben hätte:
z.z. [mm] $f:A\rightarrow\IN \text{ surjektiv }\Rightarrow A\text{ höchstens abzählbar }\Leftrightarrow_{\text{Def}}A\text{ endlich }\vee A\text{ abzählbar unendlich }\Leftrightarrow_{\text{Def}}(A\sim\IN_n\text{ für ein } n\in\IN) \vee (A\sim\IN)$
[/mm]
(Ich habe die Behauptung erstmal in Mathesprache übersetzt, dabei bedeutet [mm] $A\sim [/mm] B$ dass $A$ und $B$ gleichmächtig sind, d.h. eine Bijektion zwischen ihnen existiert, [mm] $\IN_n:=\{1,2,...,n\}$)
[/mm]
Beweis:
1. Fall, $f$ ist injektiv:
[mm] $\Rightarrow [/mm] f$ ist bijektiv [mm] $\Rightarrow A\sim\IN$, [/mm] d.h. A ist abzählbar unendlich.
2. Fall, $f$ nicht injektiv:
[mm] $\Rightarrow\exists M\subset\IN$ [/mm] sodass $f|M$ (die Einschränkung von $f$ auf $M$) bijektiv wird. Dann ist [mm] $M\sim [/mm] A$. Da $M$ aber wegen [mm] $M\subset\IN$ [/mm] höchstens abzählbar ist, ist auch $A$ höchstens abzählbar. (Den 1. Fall hätte man damit auch erschlagen können...) [mm] $\Box$
[/mm]
Dieser Beweis ist nicht ganz vollständig, ich habe die Behauptung auf die Tatsache zurückgeführt, dass jede Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] höchstens abzählbar ist (dies bedarf eines Beweises!). Das ist im Grunde genau das gleiche Argument was du auch benutzen wolltest, vermutlich sogar das einzige was es gibt (?). Vielleicht haste nun zumindest ne Vorstellung davon wie man sowas aufschreibt (deine 2. Frage).
Zu deiner ersten Frage, die Idee is natürlich richtig, schlimmstenfalls wird auf ein [mm] $a\in [/mm] A$ unendlich oft abgebildet. Die Folgerung, dass $f$ ab einem gewissen [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] jedoch konstant wird, ist falsch, denn es kann auch mehrere (unendlich viele?  ) Elemente aus $A$ geben, auf die [mm] $\infty$-oft [/mm] abgebildet wird.
Achja es kommt natürlich auch alles darauf an, welche Definition von (Un-)Endlichkeit du hier benutzen musst/darfst. Ich habe hier [mm] $A\text{ endlich }\Leftrightarrow\exists n\in\IN:A\sim\IN_n$ [/mm] benutzt, aber es gibt auch noch die Dedekind-(Un)Endlichkeit [mm] $A\text{ unendlich }\Leftrightarrow\exists\tilde{A}\subset A:\tilde{A}\ne A\wedge\tilde{A}\sim [/mm] A$. Dass diese Definitionen äquivalent sind, ist formal auch nich so klar...
Gruß, Robert
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Lieber Pelzig, vielen Dank für Deine Mühe! Nun muß ich Deine Lösung und Deine Formulierungsrichtlinien verarbeiten. Die Formulierungen meiner Anfrage stammen aus evt fehlerhaften Mitschrieben von Vorlesungen Analysis 1 an der Uni Ulm. Diese besuche ich als Hobbyhörer.
Sigi
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| Aufgabe | | Zeige:Ist [mm] f:\IN \mapsto [/mm] A surjektiv, so ist A höchstens abzählbar |
Hallo pelzig! Du hast in meiner Frage eine kleine Änderung gemacht
aus f: [mm] \IN \mapsto [/mm] A
wurde f: A [mm] \mapsto\IN
[/mm]
Nun kann ich, obwohl ich einiges gelernt habe, doch den Beweis für meine ursprüngliche Frage nicht sehen.
Falls Du nochmals Zeit findest, vielen Dank
Sigi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Sa 16.02.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo pelzig! Du hast in meiner Frage eine kleine Änderung
> gemacht
> aus f: [mm]\IN \mapsto[/mm] A
> wurde f: A [mm]\mapsto\IN[/mm]
Ja da haste wohl recht... es handelt sich aber nur um einen Schreibfehler in der Voraussetzung, der Rest stimmt trotzdem.
Ich finde es interessant wie man sich hobbymäßig in sone Vorlesung setzen kann... meinen Respekt 
Du musst auf jeden Fall die Übungsaufgaben "mit alller Kraft" bearbeiten, anders kannst du das leider nicht lernen. Und falls du dabei mal am Verzweifeln bist, keine Sorge das is normal...
Gruß, Robert
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