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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 19.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Menge A={123}. Gib alle Bijektionen von A auf sich selbst an und bilde 2 Hintereinanderausführungen! |
Hallo,
die Bijektionen sollten folgende sein:
[mm] f\f_{1}(1) [/mm] =1 [mm] f\f_{1}(2)= [/mm] 2 [mm] f\f_{1}(3)= [/mm] 3
[mm] f\f_{2}(1) [/mm] =1 [mm] f\f_{2}(2)= [/mm] 3 [mm] f\f_{2}(3)= [/mm] 2
[mm] f\f_{3}(1) [/mm] =2 [mm] f\f_{3}(2)= [/mm] 1 [mm] f\f_{3}(3)= [/mm] 3
[mm] f\f_{4}(1) [/mm] =2 [mm] f\f_{4}(2)= [/mm] 3 [mm] f\f_{4}(3)= [/mm] 1
[mm] f\f_{5}(1) [/mm] =3 [mm] f\f_{5}(2)= [/mm] 1 [mm] f\f_{5}(3)= [/mm] 2
[mm] f\f_{6}(1) [/mm] =3 [mm] f\f_{6}(2)= [/mm] 2 [mm] f\f_{6}(3)= [/mm] 1
(also n! = 6 Bijektionen (?))
(Frage: in einem steht, dass es zwischen 2 Mengen A und B [mm] |B|^{|A|} [/mm] Bijektionen gibt. In diesem Fall wären dass doch eigtl. dann
[mm] |A|^{|A|} [/mm] = [mm] 3^{3} [/mm] ?
Jetzt will ich z.B. [mm] f\f_{3} [/mm] nach [mm] f\f_{5} [/mm] ausführen.
[mm] f\f_{3} \circ f\f_{5} [/mm] = [mm] f\f_{3} \circ (f\f_{5}(1 [/mm] 2 3))
[mm] f\f_{3} [/mm] ((312))
Bis dahin klar. Aber wie führe ich dann für (3 1 2) [mm] f\f_{3} [/mm] aus?
Danke und Grüße
SH
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 19.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Gegeben ist die Menge A={123}. Gib alle Bijektionen von A
> auf sich selbst an und bilde 2 Hintereinanderausführungen!
> Hallo,
>
> die Bijektionen sollten folgende sein:
> [mm]f\f_{1}(1)[/mm] =1 [mm]f\f_{1}(2)=[/mm] 2 [mm]f\f_{1}(3)=[/mm] 3
> [mm]f\f_{2}(1)[/mm] =1 [mm]f\f_{2}(2)=[/mm] 3 [mm]f\f_{2}(3)=[/mm] 2
> [mm]f\f_{3}(1)[/mm] =2 [mm]f\f_{3}(2)=[/mm] 1 [mm]f\f_{3}(3)=[/mm] 3
> [mm]f\f_{4}(1)[/mm] =2 [mm]f\f_{4}(2)=[/mm] 3 [mm]f\f_{4}(3)=[/mm] 1
> [mm]f\f_{5}(1)[/mm] =3 [mm]f\f_{5}(2)=[/mm] 1 [mm]f\f_{5}(3)=[/mm] 2
> [mm]f\f_{6}(1)[/mm] =3 [mm]f\f_{6}(2)=[/mm] 2 [mm]f\f_{6}(3)=[/mm] 1
> (also n! = 6 Bijektionen (?))
so ist es.
> (Frage: in einem steht, dass es zwischen 2 Mengen A und B
> [mm]|B|^{|A|}[/mm] Bijektionen gibt. In diesem Fall wären dass doch
> eigtl. dann
> [mm]|A|^{|A|}[/mm] = [mm]3^{3}[/mm] ?
Gib bitte den Text, der dort steht einschließlich Kontext wörtlich wieder. Sonst können wir nicht helfen.
So ist die Aussage schon deshalb unsinnig, weil |A| nur für endliche Mengen eine gewöhnliche Zahl ist, mit der man so ohne weiteres potenzieren könnte. Zwischen endlichen Mengen gibt es aber nur eine Bijektion, wenn sie gleich mächtig sind.
Dann gibt es davon |A|! Stück.
>
> Jetzt will ich z.B. [mm]f\f_{3}[/mm] nach [mm]f\f_{5}[/mm] ausführen.
> [mm]f\f_{3} \circ f\f_{5}[/mm] = [mm]f\f_{3} \circ (f\f_{5}(1[/mm] 2 3))
> [mm]f\f_{3}[/mm] ((312))
>
> Bis dahin klar. Aber wie führe ich dann für (3 1 2) [mm]f\f_{3}[/mm]
> aus?
so richtig verstehe ich hier nicht, was du meinst.
Aber mach einfach mal folgendes: Berechne [mm] $f_3(f_5(1))$ [/mm] und [mm] $f_3(f_5(2))$ [/mm] und [mm] $f_3(f_5(3))$ [/mm] und vergleiche die Ergebnisse mit der Liste oben. Du wirst sehen, daß es dieselben Ergebnisse sind, die eine andere Funktion aus dieser Liste liefert.
Also gilt: [mm] $f_3(f_5(x)) [/mm] = f_?(x)$
OK?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 19.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
Hallo..
zunächst schonmal ein Dankeschön.
Nehme ich den Tipp und führe ihn aus, bekomme ich:
[mm] f\f_{3} \circ (f\f_{5}(1))=3 [/mm] und dann [mm] f\f_{3}(3) [/mm] = 3
in Worten: an Stelle 1 von [mm] f\f_{5} [/mm] steht 3. An Stelle 3 von [mm] f\f_{3} [/mm] steht 3
[mm] f\f_{3} \circ (f\f_{5}(2))=1 [/mm] und dann [mm] f\f_{3}(1) [/mm] = 2
in Worten: an Stelle 2 von [mm] f\f_{5} [/mm] steht 1. An Stelle 1 von [mm] f\f_{3} [/mm] steht 2
[mm] f\f_{3} \circ (f\f_{5}(3))=2 [/mm] und dann [mm] f\f_{3}(2) [/mm] = 1
Richtig? Dann käme ich auf (3,2,1) als Lösung.
Allerdings ist die "richtige" Lösung auch vorgegeben, sie soll (1,3,2) sein!
Darauf komme ich nicht :-(
Zu der anderen Frage: "f sei eine Abbildung von A nach B und A und B seien Mengen. Es gibt [mm] |B|^{|A|} [/mm] Abbildungen von A nach B" (so der Originaltext)
-->wie gesagt, das verstehe ich nicht, denn das passt ja nicht zu n! ..
Viele Grüße
S.H.
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Hallo sa_ho,
> Hallo..
> zunächst schonmal ein Dankeschön.
> Nehme ich den Tipp und führe ihn aus, bekomme ich:
> [mm]f\f_{3} \circ (f\f_{5}(1))=3[/mm] und dann [mm]f\f_{3}(3)[/mm] = 3 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> in Worten: an Stelle 1 von [mm]f\f_{5}[/mm] steht 3. An Stelle 3
> von [mm]f\f_{3}[/mm] steht 3
vllt. "schöner": [mm] $f_5$ [/mm] bildet 1 ab auf 3, [mm] $f_3$ [/mm] bildet 3 ab auf 3 , insgesamt also [mm] $1\mapsto [/mm] 3$ ...
> [mm]f\f_{3} \circ (f\f_{5}(2))=1[/mm] und dann [mm]f\f_{3}(1)[/mm] = 2
> in Worten: an Stelle 2 von [mm]f\f_{5}[/mm] steht 1. An Stelle 1
> von [mm]f\f_{3}[/mm] steht 2
> [mm]f\f_{3} \circ (f\f_{5}(3))=2[/mm] und dann [mm]f\f_{3}(2)[/mm] = 1
>
> Richtig? Dann käme ich auf (3,2,1) als Lösung.
>
> Allerdings ist die "richtige" Lösung auch vorgegeben, sie
> soll (1,3,2) sein! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Darauf komme ich nicht :-(
Ich auch nicht, kann es vllt. sein, dass in der Lösung nicht [mm] $f_3\circ f_5$ [/mm] sondern [mm] $f_5\circ f_3$ [/mm] berechnet wurde? Dann kommt das nämlich hin
>
> Zu der anderen Frage: "f sei eine Abbildung von A nach B
> und A und B seien Mengen. Es gibt [mm]|B|^{|A|}[/mm] Abbildungen von
> A nach B" (so der Originaltext)
> -->wie gesagt, das verstehe ich nicht, denn das passt ja
> nicht zu n! ..
Hier in deiner Aufgabe betrachtest du ja nicht alle möglichen Abbildungen von [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] nach [mm] $\{1,2,3\}$, [/mm] sondern nur die bijektiven Abbildungen !
Du kannst dir ja mal alle möglichen Abbildungen von [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] nach [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] hinschreiben und kontrollieren, ob das wohl 27 Stück werden [mm] (=3^3) [/mm] 
>
> Viele Grüße
> S.H.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > (Frage: in einem steht, dass es zwischen 2 Mengen A und B
> > [mm]|B|^{|A|}[/mm] Bijektionen gibt. In diesem Fall wären dass doch
> > eigtl. dann
> > [mm]|A|^{|A|}[/mm] = [mm]3^{3}[/mm] ?
>
> Gib bitte den Text, der dort steht einschließlich Kontext
> wörtlich wieder. Sonst können wir nicht helfen.
> So ist die Aussage schon deshalb unsinnig, weil |A| nur
> für endliche Mengen eine gewöhnliche Zahl ist, mit der man
> so ohne weiteres potenzieren könnte.
Die Aussage macht bei endlichen Mengen genauso viel Sinn wie bei unendlichen: ganz allgemein fuer Kardinalzahlen $|A|, |B|$ ist [mm] $|A|^{|B|}$ [/mm] definiert als [mm] $|A^B|$, [/mm] wobei [mm] $A^B [/mm] = [mm] \{ f : B \to A \mid \text{ Abbildung } \}$ [/mm] ist.
Unsinnig ist die Aussage allerdings insofern, dass [mm] $|B|^{|A|}$ [/mm] nicht die Anzahl der Bijektionen von $A$ nach $B$ ist, sondern einfach die Anzahl der Abbildungen. (Wie man bei der Definition oben auch sieht; dass diese so definierte Exponentation mit der Exponentation von natuerlichen Zahlen uebereinstimmt im Fall von endlichen Kardinalzahlen muss man natuerlich noch beweisen.)
> Zwischen endlichen
> Mengen gibt es aber nur eine Bijektion, wenn sie gleich
> mächtig sind.
Bei unendlichen Mengen gilt das auch. Wobei die Definition von gleichmaechtig gerade ist, dass es eine Bijektion gibt... :)
LG Felix
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