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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Bilden die folgenden 6 Funktionen bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe?
[mm] f_{i} [/mm] : [mm] \begin{cases} \IR\ (0,1) \to \IR \\ x \mapsto f_{i}(x) \end{cases}
[/mm]
mit
[mm] f_{1}(x) [/mm] := x
[mm] f_{2}(x) [/mm] := 1 − x
[mm] f_{3}(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] f_{4}(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f_{5}(x) [/mm] := 1 - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f_{6}(x) [/mm] := [mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] |
Soll ich jetzt alle Funktionen miteinander verknüpfen ?
Also
[mm] f_{1} \circ f_{2} \circ f_{3} \circ f_{4} \circ f_{5} \circ f_{6}
[/mm]
und dann die Gruppenaxiome prüfen oder verstehe ich das falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Do 07.05.2015 | | Autor: | chrisno |
So verstehst Du das falsch.
Nimm Dir die Gruppenaxiome vor, eines nach dem anderen, und schaue ob sie erfüllt sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Worauf soll ich die Axiome denn anwenden ? Auf die einzelnen Funktionen oder was ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Worauf soll ich die Axiome denn anwenden ? Auf die
> einzelnen Funktionen oder was ?
wenn man die Aufgabe ordentlich formuliert:
Es sei [mm] $G:=\{f_1,\,f_2,\,f_4,\,f_4,\,f_5,\,f_6\}$ [/mm] mit deinen gegebenen Funktionen
[mm] $f_k \colon \IR \setminus \red{\{}0,\,1\red{\}} \longrightarrow \IR$
[/mm]
[mm] $\circ$ [/mm] bezeichne die Hintereinanderausführung, d.h. es gilt für $p,q [mm] \in \{1,...,6\}$ [/mm]
(nicht notwendig $p [mm] \neq [/mm] q$):
[mm] $g:=f_p \circ f_q$
[/mm]
ist definiert durch [mm] $g(x)=(f_p \circ f_q)(x):=f_p(\;f_q(x)\;)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0,\,1\}$.
[/mm]
(Hinweis: Damit das überhaupt hingeschrieben werden kann, muss
[mm] $f_q(\IR\setminus \{0,\,1\}) \subseteq \IR \setminus \{0,\,1\}$ [/mm] sein; sowas steckt aber auch
an anderer Stelle nochmal versteckt in der Aufgabe mit drin!)
Frage: Ist [mm] $(G,\circ)$ [/mm] dann eine Gruppe?
Beachte dabei: Du hast auch zu prüfen, ob [mm] $\circ \colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ gilt (Abgeschlossenheit)!
Beispiel: Ich zeige die Existenz eines linksneutralen Elements (wie man sich
leicht überlegen kann, ist dieses auch rechtsneutral):
Wir setzen [mm] $e:=f_1$ [/mm] und behaupten, dass [mm] $e\,$ [/mm] linksneutral ist. Weil wir noch
nicht nachgewiesen haben, dass wirklich [mm] $\circ \colon [/mm] G [mm] \red{\,\to G}$ [/mm] gilt, machen wir
das detailliert:
Sei $u [mm] \in G\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $k [mm] \in \{1,...,6\}$ [/mm] mit [mm] $u=f_k\,.$ [/mm] Offenbar gilt
weder $0 [mm] \in u(\IR\setminus \{0,\,1\})=f_k(\IR\setminus \{0,\,1\})$ [/mm] noch $1 [mm] \in u(\IR\setminus \{0,\,1\})=f_k(\IR\setminus \{0,\,1\})$.
[/mm]
(Hinweis: Alle [mm] $k=1,\ldots,6$ [/mm] *durchspielen*!!)
Also ist [mm] $u(\IR\setminus \{0,\,1\}) \subseteq \IR\setminus \{0,\,1\}=D_{f_1}=D_e$ [/mm] und damit kann $e [mm] \circ [/mm] u$ gebildet
werden:
Es ist also
$e [mm] \circ [/mm] u [mm] \colon \IR\setminus \{0,\,1\} \longrightarrow \IR$
[/mm]
und damit $(e [mm] \circ [/mm] u) [mm] \in G\,.$
[/mm]
(Eigentlich ist das bis hierhin alles ein wenig *Vorgeplänkel*!)
Weiter gilt für jedes $x [mm] \in \IR\setminus \{0,\,1\}$
[/mm]
$(e [mm] \circ u)(x)\;\;\;=\;\;\;f_1(\;u(x)\;)\;\;\;\stackrel{\text{Def. von }f_1(x)\equiv x}{=}\;\;\;u(x)$, [/mm]
d.h. $e [mm] \circ [/mm] u=u$ bzw. $e [mm] \circ f_k=f_k$. [/mm] Also ist [mm] $e=f_1$ [/mm] linksneutral.
So, jetzt Du!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | [mm] $\circ$ [/mm] bezeichne die Hintereinanderausführung, d.h. es gilt für $p,q [mm] \in \{1,...,6\}$ [/mm]
(nicht notwendig $p [mm] \neq [/mm] q$):
[mm] $g:=f_p \circ f_q$ [/mm]
ist definiert durch [mm] $g(x)=(f_p \circ f_q)(x):=f_p(\;f_q(x)\;)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0,\,1\}$. [/mm]
(Hinweis: Damit das überhaupt hingeschrieben werden kann, muss
[mm] $f_q(\IR\setminus \{0,\,1\}) \subseteq \IR \setminus \{0,\,1\}$ [/mm] sein; sowas steckt aber auch
an anderer Stelle nochmal versteckt in der Aufgabe mit drin!)
Frage: Ist [mm] $(G,\circ)$ [/mm] dann eine Gruppe? |
Ich verbinde jetzt [mm] f_{1} [/mm] mit [mm] f_{2}:
[/mm]
[mm] f_{1}(x) \circ f_{2}(x) [/mm] = [mm] f_{1}(f_{2}(x)) [/mm] := (x) [mm] \circ [/mm] (1-x) = 1-x
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\circ[/mm] bezeichne die Hintereinanderausführung, d.h. es gilt
> für [mm]p,q \in \{1,...,6\}[/mm]
> (nicht notwendig [mm]p \neq q[/mm]):
>
> [mm]g:=f_p \circ f_q[/mm]
>
> ist definiert durch [mm]g(x)=(f_p \circ f_q)(x):=f_p(\;f_q(x)\;)[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR \setminus \{0,\,1\}[/mm].
> (Hinweis: Damit das überhaupt hingeschrieben werden kann,
> muss
> [mm]f_q(\IR\setminus \{0,\,1\}) \subseteq \IR \setminus \{0,\,1\}[/mm]
> sein; sowas steckt aber auch
> an anderer Stelle nochmal versteckt in der Aufgabe mit
> drin!)
>
> Frage: Ist [mm](G,\circ)[/mm] dann eine Gruppe?
> Ich verbinde jetzt [mm]f_{1}[/mm] mit [mm]f_{2}:[/mm]
Du meinst, Du verknüpfst [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] bzw. Du schaltest [mm] $f_1$ [/mm] nach [mm] $f_2$ [/mm] oder oder oder...
(es gibt noch andere Sprechweisen).
> [mm]f_{1}(x) \circ f_{2}(x)[/mm] = [mm]f_{1}(f_{2}(x))[/mm] := (x) [mm]\circ[/mm]
> (1-x) = 1-x
>
> Ist das richtig ?
Ja - nur: [mm] $f_1(x) \circ f_2(x)$ [/mm] schreibt man üblicherweise so nicht, sondern
[mm] $\red{(}f_1 \circ f_2\red{)}(x)=f_1(\;f_2(x)\;)$
[/mm]
Manche schreiben die roten Klammern nicht, aber ich denke, sie sorgen für
einen besseren Überblick.
(Bei [mm] $f_1 \circ f_2(x)$ [/mm] unterliegt man der Versuchung, unbedacht [mm] "$f_1$ [/mm] nach [mm] $f_2(x)$" [/mm] zu
lesen, was dann komisch ist: Eine Funktion wird nach einem Funktionswert
geschaltet?)
Auch $(x) [mm] \circ [/mm] (1-x)$ würde man nicht schreiben - wobei das jetzt vielleicht auch
nur daran liegt, dass es noch keine eingeführt hat:
[mm] $\sin(x) \circ (x^2)$
[/mm]
würde man durchaus auch als [mm] $\sin(x^2)$ [/mm] verstehen können. Günstig scheint
mir diese Notation aber nicht zu sein, da sie sicher viele Fehlinterpretationen
zuläßt.
Aber ich denke, wenn man von dem einen Notationsmangel und der anderen
Notationsungewöhnlichkeit absieht: Du hast es verstanden!
Achso: [mm] $f_1(f_2(x))$ [/mm] ist aber nichts, was definiert werden muss. Hier gilt [mm] $f_1(f_2(x))$
[/mm]
ist die Auswertung der Funktion [mm] $f_1$ [/mm] an der Stelle [mm] $f_2(x)$.
[/mm]
Anders gesagt: Setzt Du [mm] $\widetilde{x}:=f_2(x)$, [/mm] so ist [mm] $f_1(f_2(x))=f_1(\widetilde{x})$ [/mm] die Auswertung
der Funktion [mm] $f_1$ [/mm] an der Stelle [mm] $\widetilde{x}$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Und jetzt soll ich die Operation: 1-x nach den Gruppenaxiomen prüfen?
Könntest du für mich vielleicht einen Anfang machen? Ich kann mir das nicht wirklich vorstellen. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 07.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich bin ja nicht der Angesprochene.
Zuerst produzierst Du eine Liste der Gruppenaxiome.
Da steht sicher etwas von einem neutralen Element (Eineselement oder so).
Gibt es in der Liste eine Funktion, die das sein könnte?
Wenn nicht, dann bist Du fertig, weil es dann keine Gruppe ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und jetzt soll ich die Operation: 1-x nach den
> Gruppenaxiomen prüfen?
die Frage macht keinen Sinn!
> Könntest du für mich vielleicht einen Anfang machen? Ich
> kann mir das nicht wirklich vorstellen. :(
Du sollst prüfen, ob [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine Gruppe ist. Ich habe Dir nun genau
definiert, was [mm] $G\,$ [/mm] dabei ist und was [mm] $\circ$ [/mm] ist, und ich habe Dir auch schon
vorgerechnet, dass es in [mm] $G\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\circ$ [/mm] ein linksneutrales Element gibt:
Dieses trägt den Namen [mm] $f_1$ [/mm] (genauer: [mm] $f_1 \colon \IR \setminus \{0,\,1\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=x$ [/mm] für alle
$x [mm] \in \IR \setminus \{0,\,1\}$).
[/mm]
Wenn ich Dir sage: Sei für $o [mm] \neq [/mm] e$ nun [mm] $G'=\{o,e\,\}$ [/mm] mit
$o [mm] \odot [/mm] o:=o [mm] \odot [/mm] e:=e [mm] \odot [/mm] o:=o$
und
$e [mm] \odot e:=e\,.$
[/mm]
Ist dann [mm] $(G',\odot)$ [/mm] eine Gruppe?
Dann fragst Du sicher auch nicht, ob Du [mm] $e\,$ [/mm] nach den Gruppenaxiomen prüfen
sollst...
Und ich habe Dir schon einen Anfang gemacht. Aber vielleicht mal: Wie lauten
Eure Gruppenaxiome im Detail?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Gruppenaxiome:
(G1) assoziativ [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c) = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c
(G2) neutrales El. [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ [/mm] e=e [mm] \circ [/mm] a=a
(G3) inverses El. [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} \circ [/mm] a = e
(G4) kommutativ [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a
Es müssen G1-G3 gelten, wenn G4 gilt abelsche Gruppe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gruppenaxiome:
>
> (G1) assoziativ [mm]\mapsto[/mm] a [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] c) = (a [mm]\circ[/mm] b)
> [mm]\circ[/mm] c
> (G2) neutrales El. [mm]\mapsto[/mm] a [mm]\circ[/mm] e=e [mm]\circ[/mm] a=a
> (G3) inverses El. [mm]\mapsto[/mm] a [mm]\circ a^{-1}[/mm] = [mm]a^{-1} \circ[/mm] a
> = e
> (G4) kommutativ [mm]\mapsto[/mm] a [mm]\circ[/mm] b = b [mm]\circ[/mm] a
>
> Es müssen G1-G3 gelten, wenn G4 gilt abelsche Gruppe.
okay, Du sagst richtig: G4 ist bei der Aufgabe nicht gefragt (es ist nur
gefragt, ob wir eine Gruppe haben, nicht, ob es eine abelsche ist).
Und die Gruppenaxiome sind aber nicht schön formuliert: Die Assoziativität
könnte ich ja noch durchgehen lassen, aber der Deutlichkeit wegen:
G1) ist eigentlich zu formulieren als
Für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] G$ gilt $a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)=(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c$.
G2)
Es gibt ein $e [mm] \in [/mm] G$ so, dass: Für alle $a [mm] \in [/mm] G$ gilt
(*) $a [mm] \circ [/mm] e=e [mm] \circ [/mm] a=a$
Bemerkung: Solch' eines ist im Falle der Existenz eindeutig!
G3)
Für alle $a [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein $b [mm] \in [/mm] G$ mit
(**) $a [mm] \circ [/mm] b=b [mm] \circ [/mm] a=e$
Bemerkung: Ist $a [mm] \in [/mm] G$ so, dass es ein $b [mm] \in [/mm] G$ gibt, dass (**) erfüllt, so ist
dieses $b=b(a)$ auch eindeutig bestimmt. Daher setzt man in diesem Falle [mm] $a^{-1}:=b$.
[/mm]
Was ich bisher gemacht habe: Ich habe gezeigt, dass in Deinem Fall für
[mm] $f_1 \in [/mm] G$ gilt:
Für alle $k [mm] \in \{1,\ldots,6\}$ [/mm] gilt
[mm] $f_1 \circ f_k=f_k\,.$
[/mm]
Um G2) gemäß Eurer Definition zu vollenden, musst Du dann noch
[mm] $f_k \circ f_1=f_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \{1,...,6\}$ [/mm] nachrechnen. (Siehe (*).)
(Es gibt aber auch *schwache Gruppenaxiome*, die würden einem eine
solche Arbeit evtl. ersparen!)
Kannst Du mal gucken, ob G1) erfüllt ist? (Eigentlich ist es nahezu trivial,
dass G1) erfüllt sein wird; aber da es Dir nicht sofort ersichtlich ist und es
somit für Dich nichttrivial sein muss: Rechne es nach!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Für G1 brauche ich 3 Elemente die ich Verknüpfen soll. Soll ich jetzt [mm] f_{1} f_{2} f_{3} [/mm] oder ist das irgendwie algemein [mm] f_{i} f_{j} f_{k} [/mm] gemeint
Also:
[mm] f_{i} \circ (f_{j} \circ f_{k}) [/mm] = [mm] (f_{i} \circ f_{j}) \circ f_{k}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für G1 brauche ich 3 Elemente die ich Verknüpfen soll.
> Soll ich jetzt [mm]f_{1} f_{2} f_{3}[/mm] oder ist das irgendwie
> algemein [mm]f_{i} f_{j} f_{k}[/mm] gemeint
>
> Also:
>
> [mm]f_{i} \circ (f_{j} \circ f_{k})[/mm] = [mm](f_{i} \circ f_{j}) \circ f_{k}[/mm]
bei der Existenz des neutralen musst Du das konkret benennen (und
beweisen, dass es auch das neutrale Element ist); ebenso musst Du bei
der Existenz des Inversen hier (vermutlich) konkret werden:
- [mm] $f_1$ [/mm] ist zu sich selbst invers (+Beweis)
- [mm] $f_2$ [/mm] und [mm] $f_{?}$ [/mm] sind einander invers, denn ...
Aber bei der Assoziativität kannst Du es Dir hier einfacher machen:
Es sei $f [mm] \colon [/mm] W [mm] \to [/mm] X$ und $g [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ und $h [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] Z$. Zeige:
Dann gilt für die Funktionen
$(h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f [mm] \colon [/mm] W [mm] \to [/mm] Z$ und $h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \colon [/mm] W [mm] \to [/mm] Z$
die Gleichheit
$(h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f=h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ f)\,.$
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe musst Du mit diesem Satz ein wenig aufpassen, denn
ganz direkt kannst Du ihn nicht anwenden. Du kannst ihn aber anwenden,
indem Du etwa zeigst:
Für jede Funktion
[mm] $f_k \colon \IR \setminus \{0,1\} \to \IR$
[/mm]
kann man in sinnvoller Weise
[mm] $\widetilde{f_k}\colon \IR \setminus \{0,1\} \to \red{\,\IR\setminus \{0,1\}\,}$
[/mm]
mit [mm] $\widetilde{f_k}(x):=f_k(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] definieren.
Der Satz ist dann auf die [mm] $\widetilde{f_k}$ [/mm] anwendbar, und damit kann man darauf
zurückschließen, dass die "assoziative Gleichheit" auch für die [mm] $f_k$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 So 10.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
(G2) Das neutrale element der Gruppe ist [mm] f_{1} [/mm] = x.
Da jedes element [mm] f_{k} \circ f_{1} [/mm] = [mm] f_{1} \circ f_{k} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm] ist.
Das kann ich leich für jedes Element beweisen, keine Frage.
(G3) Das inverse Element der Funktionen
[mm] f_{1} \circ f_{1} [/mm] = [mm] f_{1} \circ f_{1} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm]
[mm] f_{2} \circ f_{2} [/mm] = [mm] f_{2} \circ f_{2} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm]
[mm] f_{3} \circ f_{5} [/mm] = [mm] f_{5} \circ f_{3} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm]
[mm] f_{4} \circ f_{4} [/mm] = [mm] f_{4} \circ f_{4} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm]
[mm] f_{6} \circ f_{6} [/mm] = [mm] f_{6} \circ f_{6} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm]
Kann ich auch für jedes [mm] f_{k} [/mm] konkret beweisen.
(G1) Bei [mm] \IR [/mm] \ {0,1} gilt es da,
z.B. bei der Funktion [mm] f_{4} [/mm] das X nicht 0 sein kann oder bei der Funktion [mm] f_{3} [/mm] das X nicht 1 sein darf, da die Werte nicht definiert sind.
[mm] \IR [/mm] \ {0,1} [mm] \to \IR [/mm] \ {0,1}
z.B
bei [mm] f_{2} \circ f_{6} [/mm] ist die 0 nicht definiert
bei [mm] f_{2} \circ f_{4} [/mm] ist die 1 nicht definiert
Ich habe aber kein Plan wie ich das jetzt richtig allgemein beweisen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (G2) Das neutrale element der Gruppe ist [mm]f_{1}[/mm] = x.
> Da jedes element [mm]f_{k} \circ f_{1}[/mm] = [mm]f_{1} \circ f_{k}[/mm] =
> [mm]f_{1}[/mm] ist.
> Das kann ich leich für jedes Element beweisen, keine
> Frage.
>
> (G3) Das inverse Element der Funktionen
> [mm]f_{1} \circ f_{1}[/mm] = [mm]f_{1} \circ f_{1}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm]
> [mm]f_{2} \circ f_{2}[/mm] = [mm]f_{2} \circ f_{2}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm]
> [mm]f_{3} \circ f_{5}[/mm] = [mm]f_{5} \circ f_{3}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm]
> [mm]f_{4} \circ f_{4}[/mm] = [mm]f_{4} \circ f_{4}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm]
> [mm]f_{6} \circ f_{6}[/mm] = [mm]f_{6} \circ f_{6}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm]
>
> Kann ich auch für jedes [mm]f_{k}[/mm] konkret beweisen.
ich habe es halt nicht nachgerechnet - und das wäre als Korrektor auch
nicht meine Aufgabe, dass ich mich selbst davon überzeuge, dass Deine
Gleichungen stimmen.
Aber ich teste mal: Es war
[mm] $f_2(x):=1-x\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $f_2 \circ f_2 \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $(f_2 \circ f_2)(x)=f_2(f_2(x))=1-(1-x)=x\,,$
[/mm]
also [mm] $f_2 \circ f_2=f_1\,.$
[/mm]
Fazit: [mm] $f_2^{\text{inv}_G}=f_2\,.$ [/mm] (Links ist "Inverse in G" gemeint!)
Du solltest aber auch noch mehr als nur die Gleichungen hinschreiben,
nämlich etwa
- das Inverse von [mm] $f_3 \in [/mm] G$ ist [mm] $f_5 \in [/mm] G$ (also [mm] $f_3^{\text{inv}_G}=f_5$) [/mm] und umgekehrt
- ...
Aber ich kann das schon interpretieren. Die Frage ist halt, ob Dein Korrektor
das auch interpretieren können will. 
> (G1) Bei [mm]\IR[/mm] \ {0,1} gilt es da,
> z.B. bei der Funktion [mm]f_{4}[/mm] das X nicht 0 sein kann oder
> bei der Funktion [mm]f_{3}[/mm] das X nicht 1 sein darf, da die
> Werte nicht definiert sind.
Was meinst Du? Ich wollte eigentlich, dass Du begründest
[mm] $f_k(\IR \setminus \{0,1\})\red{\,=\,}\IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] für $k=1,...,6$
(es würde [mm] $\subseteq$ [/mm] anstatt [mm] $\red{\,=\,}$ [/mm] reichen!).
Das brauchst Du, damit [mm] $f_k \circ f_\ell$ [/mm] für [mm] $(k,\ell)\in \{1,...,6\} \times \{1,...,6\}$ [/mm] überhaupt
gebildet werden kann!
> [mm]\IR[/mm] \ {0,1} [mm]\to \IR[/mm] \ {0,1}
> z.B
> bei [mm]f_{2} \circ f_{6}[/mm] ist die 0 nicht definiert
> bei [mm]f_{2} \circ f_{4}[/mm] ist die 1 nicht definiert
>
> Ich habe aber kein Plan wie ich das jetzt richtig allgemein
> beweisen soll.
S.o.. Jetzt klarer?
Gucken wir mal: Es ist
[mm] $f_2 \colon \IR \setminus \{0,1\} \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_2(x):=1-x\,.$
[/mm]
Zu zeigen: $0 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})$ [/mm] und $1 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})\,.$
[/mm]
1.) Angenommen, es wäre doch $0 [mm] \in f_2(\IR \setminus \{0,1\})\,.$ [/mm] Dann gäbe es ein [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] mit [mm] $f_2(x_0)=0\,,$ [/mm]
also
[mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] und [mm] $1-x_0=0\,.$
[/mm]
Es folgte
[mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] und [mm] $x_0=1\,,$
[/mm]
also der Widerspruch
[mm] $x_0=1 \in \IR \setminus \{0,1\}\,.$
[/mm]
Daher muss die Annahme verworfen werden, und in der Tat ist $0 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})\,.$
[/mm]
Das ist natürlich viel zu ausführlich, aber ich habe es dennoch mal so
aufgeschrieben, damit Du siehst, wie man das *sauber sortiert* erkennen
kann.
Der *schnelle Argumentationsweg*: $0 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})$ [/mm] ist klar:
Aus $1-x=0$ folgt [mm] $x=1\,,$ [/mm] aber $1 [mm] \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.$
[/mm]
2.) $1 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})$ [/mm] ist klar, weil...?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 10.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
1.) $0 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})$ [/mm] ist klar:
Aus $1-x=0$ folgt [mm] $x=1\,,$ [/mm] aber $1 [mm] \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.$ [/mm]
2.) $1 [mm] \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})$ [/mm] ist klar,
Aus $1-x=1$ folgt [mm] $x=0\,,$ [/mm] aber $0 [mm] \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.$ [/mm]
So und wie beweise ich jetzt die Assoziativität ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.) [mm]0 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> Aus [mm]1-x=0[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
>
> 2.) [mm]1 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> Aus [mm]1-x=1[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
>
> So und wie beweise ich jetzt die Assoziativität ?
nochmal: Zeige, dass Du die [mm] $f_k$ [/mm] mit [mm] $\widetilde{f_k}$ [/mm] *identifizieren* kannst,
wobei die [mm] $\widetilde{f_k}$ [/mm] wie [mm] $f_k$ [/mm] definiert werden, nur dass sie Funktionen
[mm] $\IR \setminus \{0,1\} \to \red{\,\IR \setminus \{0,1\}\,}$ [/mm] sind.
Dafür sollst Du $0 [mm] \notin f_k(\IR\setminus \{0,1\})$ [/mm] und $1 [mm] \notin f_k(\IR\setminus \{0,1\})$ [/mm] für alle [mm] $k=1,\ldots,6$ [/mm]
begründen (für k=2 ist das erledigt, für k=1 ist das auch ziemlich
offensichtlich).
Dann ziehst Du den Satz, den ich
hier!
formuliert habe, heran (beweise ihn, falls er bis dato unbekannt ist, aber
besser ist es eigentlich, mal in den Unterlagen zu blättern, ob er nicht
irgendwo auftaucht [Übungsaufgabe?]; würde mich wundern, wenn nicht).
Weil dann mit diesem Satz für alle $r,s,t [mm] \in \{1,...,6\}$
[/mm]
[mm] $(\widetilde{f_r} \circ (\widetilde{f_s} \circ \widetilde{f_t}))(x)=((\widetilde{f_r} \circ \widetilde{f_s}) \circ \widetilde{f_t})(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0,1\}$
[/mm]
gilt, folgt diese Gleichheit (für alle obigen x) so auch, wenn man die [mm] $\widetilde{ \;\;\;\;}$ [/mm]
über den Funktionen wegläßt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 11.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
> 1.) [mm]0 \notin f_1(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> Aus [mm]x=0[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_1}\,.[/mm]
>
> 2.) [mm]1 \notin f_1(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> Aus [mm]x=1[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_1}\,.[/mm]
> 1.) [mm]0 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> Aus [mm]1-x=0[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
>
> 2.) [mm]1 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> Aus [mm]1-x=1[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
> 1.) [mm]0 \notin f_3(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> [mm]1/(1-x)=0[/mm], die Null ist bei [mm] f_3 [/mm] nicht definiert.
>
> 2.) [mm]1 \notin f_3(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> Aus [mm]1/(1-x)=1[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_3}\,.[/mm]
> 1.) [mm]0 \notin f_4(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> [mm]1/x=0[/mm] die Null ist bei [mm] f_4 [/mm] nicht definiert.
>
> 2.) [mm]1 \notin f_4(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> Aus [mm]1/x=1[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_4}\,.[/mm]
> 1.) [mm]0 \notin f_5(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> Aus [mm]1-(1/x)=0[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_5}\,.[/mm]
>
> 2.) [mm]1 \notin f_5(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> [mm]1-(1/x)=1[/mm] die 1 ist bei [mm] f_5 [/mm] nicht definiert.
> 1.) [mm]0 \notin f_6(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> Aus [mm]x/(x-1)=0[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_6}\,.[/mm]
>
> 2.) [mm]1 \notin f_6(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> [mm]x/(x-1)=1[/mm] die 1 ist bei [mm] f_6 [/mm] nicht definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 11.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Wie lautet deine Frage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > 1.) [mm]0 \notin f_1(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > Aus [mm]x=0[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm]
da solltest Du nach dem "folgt" vielleicht noch [mm] $f_1(x)=$... [/mm] ergänzen!
> > aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_1}\,.[/mm]
> >
> > 2.) [mm]1 \notin f_1(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > Aus [mm]x=1[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm]
Analog!
> aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_1}\,.[/mm]
>
>
>
> > 1.) [mm]0 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > Aus [mm]1-x=0[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
> >
> > 2.) [mm]1 \notin f_2(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > Aus [mm]1-x=1[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_2}\,.[/mm]
>
>
>
> > 1.) [mm]0 \notin f_3(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > [mm]1/(1-x)=0[/mm], die Null ist bei [mm]f_3[/mm] nicht definiert.
Du meinst: Es gibt kein $x [mm] \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] mit
[mm] $1/(1-x)=0\,.$
[/mm]
Das stimmt: Aber warum denn eigentlich nicht?
> > 2.) [mm]1 \notin f_3(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > Aus [mm]1/(1-x)=1[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_3}\,.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > 1.) [mm]0 \notin f_4(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > [mm]1/x=0[/mm] die Null ist bei [mm]f_4[/mm] nicht definiert.
Schlecht formuliert. Du kannst sagen "Es gibt kein $x [mm] \in \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] mit
[mm] $f_4(x)=1/x=0$"... [/mm] oder Du sagst: "Die Null wird nicht erreicht!" oder "Die Null
kann nicht als Funktionswert angenommen werden..."
> > 2.) [mm]1 \notin f_4(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > Aus [mm]1/x=1[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_4}\,.[/mm]
>
>
> > 1.) [mm]0 \notin f_5(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > Aus [mm]1-(1/x)=0[/mm] folgt [mm]x=1\,,[/mm] aber [mm]1 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_5}\,.[/mm]
> >
> > 2.) [mm]1 \notin f_5(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > [mm]1-(1/x)=1[/mm] die 1 ist bei [mm]f_5[/mm] nicht definiert.
Die 1 wird bei [mm] $f_5$ [/mm] nicht angenommen.
> > 1.) [mm]0 \notin f_6(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar:
> > Aus [mm]x/(x-1)=0[/mm] folgt [mm]x=0\,,[/mm] aber [mm]0 \notin \IR \setminus \{0,1\}=D_{f_6}\,.[/mm]
> >
> > 2.) [mm]1 \notin f_6(\IR \setminus \{0,1\})[/mm] ist klar,
> > [mm]x/(x-1)=1[/mm] die 1 ist bei [mm]f_6[/mm] nicht definiert.
Warum? Da kann man weiterrechnen: Aus $x/(x-1)=1$ für $x [mm] \neq [/mm] 1$ folgt
$x/(x-1)=1 [mm] \iff [/mm] x=x-1 [mm] \iff [/mm] 1=0$,
also (durch Verfolgen der [mm] $\Longrightarrow$) [/mm] der Widerspruch 1=0.
Okay: Wir wissen nun also, dass [mm] $\circ$ [/mm] auf [mm] $G\,$ [/mm] wirklich eine Verknüpfung ist,
und, wie gesagt: Nun kannst Du den Satz heranziehen, den ich
hier
erwähnt habe, um direkt die Assoziativität zu begründen.
(Bei *Musterlösungen* steht hier auch meist eh einfach nur "Die Hintereinanderausführung
[mm] $\circ$ [/mm] ist bekanntlich assoziativ!" Aber strenggenommen muss man sich all
das, worum ich gebeten habe, es zu zeigen, auch klarmachen. Ansonsten
*schlampt* man etwas;
obiges braucht man *mindestens*, um sagen zu dürfen, dass auch [mm] $\circ \colon [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \red{\,\to G\,}$ [/mm] gilt!
[Abgeschlossenheit von [mm] $\circ$!])
[/mm]
Gruß,
Marcel
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