Hinreich. Potentialkriterium < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 18.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo,
leider komme ich bei dieser Umformung nicht weiter:
[mm] $-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}$
[/mm]
Mit der Integrabilitätsbedingung
[mm] $\frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j}$
[/mm]
D.h., man kann die Indizes beim Differentialoperator vertauschen:
[mm] $-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}$
[/mm]
Mit der Kettenregel soll dann das folgen:
[mm] $-\integral_{0}^{1}\frac{d}{dt}[t \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))]dt$
[/mm]
Kann mir bitte jemand zeigen wie man zu dieser Umformung gelangt?
Warum verschwindet das Summenszeichen und warum taucht hier [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] plötzlich auf?
LG
Takota
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 So 19.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> leider komme ich bei dieser Umformung nicht weiter:
>
> [mm]-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}[/mm]
>
> Mit der Integrabilitätsbedingung
>
> [mm]\frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j}[/mm]
>
> D.h., man kann die Indizes beim Differentialoperator
> vertauschen:
>
> [mm]-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}[/mm]
>
> Mit der Kettenregel soll dann das folgen:
>
> [mm]-\integral_{0}^{1}\frac{d}{dt}[t \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))]dt[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand zeigen wie man zu dieser Umformung
> gelangt?
> Warum verschwindet das Summenszeichen und warum taucht
> hier [mm]$\frac{d}{dt}[/mm] plötzlich auf?
>
> LG
> Takota
Wir ziehen das von hinten auf, ohne Minuszeichen und Integral. Wir setzen
$f(t):=t [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$. [/mm] Mit der Produkt und der Kettenregel leiten wir f nach t ab:
$f'(t)=t [mm] \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$.
[/mm]
Dan bringen wir noch
$ [mm] \frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j} [/mm] $
ins Spiel und sind fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 19.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo fred,
Produktregel:
[mm] $\frac{d}{dt}f(t) [/mm] = 1 [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t\cdot(\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)) [/mm] + [mm] t\cdot \frac{d}{dt}r(t) [/mm] $
Mit:
$r(t):= [mm] v_i(\vec x_0+t\cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$
[/mm]
Darauf die Kettenregel:
[mm] $\frac{d}{dt }r(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}v_i(\vec x_0+t\cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$ [/mm] = ??
[mm] v_i [/mm] ist eine skalare Komponentenfunktion wie leite ich diese jetzt nach t ab?
Als innere Ableitung müsste wohl das rauskommen: [mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)$
[/mm]
Wie kommt man auf die äußere Ableitung, nach was leite ich bei der äußeren Ableitung ab?
Gruß
Takota
Nachtrag:
Da [mm] v_i [/mm] eine sklarwertig Funktion ist müßte man Formal bilden:
$grad [mm] (v_i) \cdot (\vec x-\vec x_0)$ [/mm] ??
Aber [mm] $\vec [/mm] x $ ist keine Funktion von t oder wie kann man das verstehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich weg):
$ r(t):= [mm] v_i(x_0+t\cdot [/mm] ( x - [mm] x_0)) [/mm] $
Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm] $g:=v_i$ [/mm] und $h(t):= [mm] x_0+t\cdot [/mm] (x - [mm] x_0)$.
[/mm]
Ist [mm] x_0=(x_{10},..., x_{n0}) [/mm] und [mm] $x=(x_1,...,x_n)$, [/mm] so ist [mm] $h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))$ [/mm] mit
[mm] h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),
[/mm]
also [mm] h_j'(t)=x_j-x_{j0}.
[/mm]
Somit: $r(t)=g(h(t))$ und folglich
[mm] $r'(t)=g'(h(t))\cdot [/mm] h'(t)= [mm] g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)$.
[/mm]
Kommst Du damit klar ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mo 20.08.2018 | | Autor: | Takota |
> Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> weg):
>
>
> [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
>
> Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
>
> Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
>
> [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
>
> also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
>
> Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
>
> [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>
> Kommst Du damit klar ?
Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm] $x_1, x_2,.., x_n [/mm] $ abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
Oder müsste man nicht [mm] $g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...$ [/mm] schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > weg):
> >
> >
> > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
> >
> > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
> >
> > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
> >
> > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
> >
> > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
> >
> > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
> >
> > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>
> >
> > Kommst Du damit klar ?
>
> Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
>
> Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> schreiben?
>
Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen [mm] x_1,...,x_n. [/mm]
machen wir ein eindimensionales Beispiel: $g(x)= [mm] \sin [/mm] x$ und $r(t)=g(h(t))$.
Dann ist $r'(t)=g'(h(t))h'(t)$.
Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der Variablen x.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 20.08.2018 | | Autor: | Takota |
> > > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > > weg):
> > >
> > >
> > > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
> > >
> > > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
> > >
> > > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
> > >
> > > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
> > >
> > > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
> > >
> > > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
> > >
> > > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>
> >
> > >
> > > Kommst Du damit klar ?
> >
> > Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> > abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> > X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
> >
> > Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> > schreiben?
> >
>
>
> Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen
> [mm]x_1,...,x_n.[/mm]
>
> machen wir ein eindimensionales Beispiel: [mm]g(x)= \sin x[/mm] und
> [mm]r(t)=g(h(t))[/mm].
>
> Dann ist [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm].
>
> Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der
> Variablen x.
Ist dann nicht x eine Funktion von t: $x=h(t)$ ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > > > weg):
> > > >
> > > >
> > > > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
> > > >
> > > > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > > > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
> > > >
> > > > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > > > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
> > > >
> > > > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
> > > >
> > > > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
> > > >
> > > > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
> > > >
> > > > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Kommst Du damit klar ?
> > >
> > > Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> > > abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> > > X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
> > >
> > > Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> > > schreiben?
> > >
> >
> >
> > Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen
> > [mm]x_1,...,x_n.[/mm]
> >
> > machen wir ein eindimensionales Beispiel: [mm]g(x)= \sin x[/mm] und
> > [mm]r(t)=g(h(t))[/mm].
> >
> > Dann ist [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm].
> >
> > Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der
> > Variablen x.
>
> Ist dann nicht x eine Funktion von t: [mm]x=h(t)[/mm] ?
>
Ja. In [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm] differenzierst Du zunächst nach x und dann setzt Du für x die Funktion h(t) ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mo 20.08.2018 | | Autor: | Takota |
Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
z.B., [mm] $h(x)=x_0+t(x-x_0)$. [/mm] Im [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt diese Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade zwischen x un [mm] x_0.
[/mm]
[mm] x_o [/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter zwischen [0,1].
Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X bestimmen, d.h., $x(t)$. Ist diese Überlegung richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
>
> z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> zwischen x un [mm]x_0.[/mm]
Dann lautet das aber:
[mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]
> [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter
> zwischen [0,1].
>
> Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].
Der lautet dann h(t).
> Ist diese Überlegung richtig?
Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 20.08.2018 | | Autor: | Takota |
> > Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
> >
> > z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> > Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> > zwischen x un [mm]x_0.[/mm]
>
> Dann lautet das aber:
>
> [mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]
>
>
> > [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter
> > zwischen [0,1].
> >
> > Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> > bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].
>
> Der lautet dann h(t).
>
> > Ist diese Überlegung richtig?
>
> Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.
> >
>Dazu hätte ich woh den ganzen Beweis aufschreiben müßen. Ich habe bei meiner Ausgangsfrage nur ein Detail zitiert. Aber Ausgangspunkt war diese Skizze mit den Vektoren [mm] x_0, [/mm] x und dem Parameter t. Mit t kann man jeden Punkt zwischen [mm] x_0 [/mm] und x bestimmen.
So kam die Funktion [mm] $V(x)=[x_0+t(x-x_0)]$, [/mm] mit Parameter [mm] $t\varepsilon [/mm] [0,1] zustande. t ist hier also nur eine Konstante.
In der Gleichung meiner Eingangsfrage wurde jetzt aber nach t abgeleitet, d.h., das jetzt x als eine Funktion von t betrachtet wird, was vorher nicht der Fall war.
Falls du anderer Meinung bist, bitte berichtigen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
> > >
> > > z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> > > Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> > > zwischen x un [mm]x_0.[/mm]
> >
> > Dann lautet das aber:
> >
> > [mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]
> >
> >
> > > [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter
> > > zwischen [0,1].
> > >
> > > Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> > > bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].
> >
> > Der lautet dann h(t).
> >
> > > Ist diese Überlegung richtig?
> >
> > Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.
> > >
> >Dazu hätte ich woh den ganzen Beweis aufschreiben
> müßen. Ich habe bei meiner Ausgangsfrage nur ein Detail
> zitiert. Aber Ausgangspunkt war diese Skizze mit den
> Vektoren [mm]x_0,[/mm] x und dem Parameter t. Mit t kann man jeden
> Punkt zwischen [mm]x_0[/mm] und x bestimmen.
> So kam die Funktion [mm]$V(x)=[x_0+t(x-x_0)]$,[/mm] mit Parameter
> [mm]$t\varepsilon[/mm] [0,1] zustande.
Nirgendwo kam die Funktion V mit der Variablen x vor ?!!
> t ist hier also nur eine
> Konstante.
Nein.
>
> In der Gleichung meiner Eingangsfrage wurde jetzt aber nach
> t abgeleitet, d.h., das jetzt x als eine Funktion von t
> betrachtet wird, was vorher nicht der Fall war.
>
> Falls du anderer Meinung bist, bitte berichtigen
Bei festem x und [mm] x_0 [/mm] war
$ f(t):=t [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)) [/mm] $ mit T [mm] \in [/mm] [0,1].
Diese Funktion wird nach t differenziert. Wie man das mit Produkt- und Kettenregel macht, habe ich Dir in meiner ersten Antwort geschrieben
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 20.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo fred,
1) Fall
[mm] $\vec u(\vec [/mm] x):= [mm] \vec v[\vec x_0 [/mm] + t [mm] \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0]$ [/mm] ; $t [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]$
2) Fall
[mm] $\vec [/mm] u(t):= [mm] \vec v[\vec x_0 [/mm] + t [mm] \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0]$ [/mm] ; $t [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]$
Frage: Hängt in beiden Fällen $ [mm] \vec [/mm] x$ von t ab?
Ich meine: Im Fall 1) nein und im Fall 2) ja.
Wie siehst du das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 20.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> 1) Fall
>
> [mm]\vec u(\vec x):= \vec v[\vec x_0 + t \cdot (\vec x - \vec x_0][/mm]
> ; [mm]t \varepsilon [0,1][/mm]
>
> 2) Fall
>
> [mm]\vec u(t):= \vec v[\vec x_0 + t \cdot (\vec x - \vec x_0][/mm]
> ; [mm]t \varepsilon [0,1][/mm]
>
> Frage: Hängt in beiden Fällen [mm]\vec x[/mm] von t ab?
In keinem der beiden Fällen hängt x von t ab.
>
> Ich meine: Im Fall 1) nein und im Fall 2) ja.
>
> Wie siehst du das?
>
>
|
|
|
|
