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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 Di 21.04.2015 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | In 1886 G.W.Hill studied the motion of the moon decribed by the ODE
[mm] $y''(x)=4(\omega^2+q(x))y(x)$
[/mm]
where [mm] $\omega\in\mathbb{R}^+$, [/mm] $q$ a real periodic function with a Fourier expansion [mm] $q(x)=2\sum_{n=1}^\infty t_n\cos(2nx)$, [/mm] and $y$ to be determined. Look for a periodic solution $y$ with a Fourier expansion of the form [mm] $y(x)=\frac{1}{2}y_0+\sum_{n=1}^\infty y_n\cos(2nx)$ [/mm] and conclude that the coefficients [mm] $y_n$ [/mm] satisfy an infinite system of linear equations
[mm] $\left(\delta_{n0}+\frac{t_n}{\omega^2+n^2}\right)y_0+\sum_{m=1}^\infty\left(\delta_{nm}+\frac{t_{|n-m|}+t_{|n+m|}}{\omega^2+n^2}\right)y_m=0$, [/mm] for [mm] $n=0,...,\infty$ [/mm] |
Hi,
ich hab die Frage mal in FunkAna gepostet, weil sie auch bei uns in FunkAna gestellt wird.
Wir kürzen ab: [mm] $c_n(x):=\cos(2nx)$.
[/mm]
Unterstellen wir der Lösung die Form [mm] $y(x)=\frac{1}{2}y_0+\sum_{n=1}^\infty y_n\cos(2nx)$ [/mm] bekommen wir durch zweifache Differentiation
[mm] $y''(x)=\sum_{n=1}^\infty y_n(2n)^2(-c_n(x))$
[/mm]
Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir
[mm] $-\sum_{n=1}^\infty y_n4n^2c_n(x)=4(\omega^2+q(x))(\frac{y_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty y_nc_n(x))$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow 0=\sum_{n=1}^\infty n^2y_nc_n(x)+\frac{\omega^2y_0}{2}+\frac{y_0q(x)}{2}+\sum_{n=1}^\infty \omega^2y_nc_n(x)+\sum_{n=1}^\infty q(x)y_nc_n(x)$
[/mm]
Wir verwenden die Fourier expansion von $q(x)$ (s.o.) und erhalten
[mm] $\Leftrightarrow 0=\frac{\omega^2y_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty t_kc_k(x)y_0+\sum_{n=1}^\infty \omega^2y_nc_n(x)+\sum_{n=1}^\infty n^2y_nc_n(x)+\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty 2t_ky_nc_n(x)c_k(x)$
[/mm]
Wir setzen [mm] $c_0(x):=1$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}_n:=y_n/2$ [/mm] und rechnen weiter
[mm] $\Leftrightarrow 0=((\omega^2+0^2)c_0+\sum_{k=1}^\infty 2t_kc_kc_0)\tilde{y}_0 [/mm] + [mm] \sum{n=1}^\infty((\omega^2+n^2)c_n(x)+\sum_{k=1}^\infty 2t_kc_k(x)c_n(x))\tilde{y}_n$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow 0=\sum_{n=0}^\infty((\omega^2+n^2)c_n(x)+\sum_{n=1}^\infty 2t_kc_k(x)c_n(x))\tilde{y}_n=\sum_{n=0}^\infty(\tilde{y}_n((\omega^2+n^2)+\sum_{k=1}^\infty 2t_kc_k(x)))c_n$
[/mm]
Da bin ich jetzt gerade und weiß hald nicht, wie ich auf die Gleichung im Gleichungssystem, die gegeben is, kommen soll.
Bin sehr dankbar für jede Hilfe,
nbt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 29.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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