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| Aufgabe | Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen stetig sind:
[mm] f(n)=\begin{cases} 1/q, & \mbox{für } n= \mbox{ p/q} \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ } \not\in \IQ \end{cases}
[/mm]
und f(x) = x - [x]
und f(x) = [x] + |x| |
Bitte um Hilfe, dankbar jeder Idee :)
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> Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen
> stetig sind:
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1/q, & \mbox{für } n= \mbox{ p/q} \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ } \not\in \IQ \end{cases}[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") $n$ für einen reellen Parameter, tsk, tsk. Zudem ist diese Funktion für $n=0$ nicht wohldefiniert. Ich nehme deshalb an, dass $f(0)=0$ sein soll.
Diese Funktion ist stetig an den Stellen [mm] $n\in(\IR\backslash\IQ)\cup \{0\}$ [/mm] und unstetig an den Stellen [mm] $n\in\IQ\backslash\{0\}$. [/mm] - Weshalb? - Kühne Behauptung: Ist [mm] $n\in \IR$, [/mm] so gibt es für jedes (noch so grosse) [mm] $q_0\in\IN$ [/mm] ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$, so dass für alle [mm] $\frac{p}{q}\in \IQ\backslash\{n\}$ [/mm] mit [mm] $\big|n-\frac{p}{q}\big|<\varepsilon$ [/mm] (und [mm] $p\in \IZ, q\in \IN$) [/mm] folgt, dass [mm] $q>q_0$ [/mm] ist.
Daraus folgt sogleich die Unstetigkeit in [mm] $n\in\IQ\backslash\{0\}$, [/mm] denn an diesen Stellen ist [mm] $f(n)=\frac{1}{q}>0$, [/mm] aber schon die Bilder einer Folge rationaler Zahlen [mm] $\neq [/mm] n$ mit Limes $n$ haben den Limes $0$, statt [mm] $\frac{1}{q}$.
[/mm]
Ist aber [mm] $n\in(\IR\backslash\IQ)\cup \{0\}$, [/mm] so bilden die Bilder von Gliedern einer beliebigen gegen $n$ konvergenten Folge eine Nullfolge und konvergieren somit gegen $f(n)=0$.
>
> und f(x) = x - [x]
$[x]$ ist stetig ausser an den Stellen [mm] $x\in \IZ$ [/mm] - also?
> und f(x) = [x] + |x|
Ditto: da $|x|$ überall stetig ist, schlägt die Unstetigkeit von $[x]$ an den Stellen [mm] $x\in\IZ$ [/mm] voll auf diese Funktion $f(x)=[x]+|x|$ durch.
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