Hilfe, der Mittelwertsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 25.05.2004 | | Autor: | Clara |
Hallöchen!
Wir nehmen in Analysis gerade den Mittelwertsatz durch und ich komme damit irgendwie ganz schlecht zurecht. Folgende Aufgabe zum Beispiel:
Mit dem Mittelwertsatz zeige man:
[mm] \bruch{(b-a)}{2} \ge \bruch{1}{1+a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+b^{2}} [/mm] für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] mit b > a [mm] \ge [/mm] 1
Wie zeige ich das mit dem Mittelwertsatz? Klar, laut Mittelwertsatz ist (b-a) = [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{f`(c)} [/mm] , das b-a taucht also dort auch auf, aber wie nutze ich das konkret für dieses Problem? Wäre super nett wenn ihr mir da helfen würdet,
mfg Clara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 25.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Clara!
> Wir nehmen in Analysis gerade den Mittelwertsatz durch und
> ich komme damit irgendwie ganz schlecht zurecht. Folgende
> Aufgabe zum Beispiel:
>
> Mit dem Mittelwertsatz zeige man:
>
> [mm] \bruch{(b-a)}{2} \ge \bruch{1}{1+a^{2}} [/mm] -
> [mm] \bruch{1}{1+b^{2}} [/mm] für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] mit b > a [mm] \ge [/mm] 1
Betrachte man die Funktion
$f(x) = - [mm] \frac{1}{1+x^2}$.
[/mm]
Dann gilt:
$f'(x) = [mm] \frac{2x}{(1+x^2)^2}$.
[/mm]
Für alle $c [mm] \in \IR$ [/mm] mit $b >c > a [mm] \ge [/mm] 1$ gilt:
[mm] $(1+c^2)^2 \ge (1+c^2) \ge c^2 \ge [/mm] c$,
also:
$f'(c) = [mm] \frac{2c}{(1+c^2)^2} [/mm] = 2 [mm] \cdot \underbrace{\frac{c}{(1+c^2)^2}}_{\le \, 1} \le [/mm] 2$.
Versuche es mal und melde dich mit einem Lösungsvorschlag oder bei nach wie vor bestehenden Problemen und bei weiteren Fragen.
Liebe Grüße
Julius
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