Hilbertkalkül , beweisbar < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:20 Mo 16.05.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei L eine Sprache und [mm] \phi, \psi [/mm] L-Formeln. Zeigen Sie:
(1) [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi
[/mm]
(2) [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] (\phi \wedge \psi) \rightarrow (\forall [/mm] x [mm] \phi \wedge \forall [/mm] x [mm] \psi)
[/mm]
Edit von mir:
Notation: [mm] \vdash_L \chi [/mm] bedeutet [mm] \chi [/mm] ist eine beweisbare L-Formel
Also formale Beweise im Hilbertkalkül sind gefragt. |
Hallo,
Wir halten uns sehr an http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/logik.pdf
Intern S. 16 wird der Hilbertkalkül vorgestellt und die abgeleiteten [mm] Regeln:Aussagenlogik,\forall [/mm] Quantoraxiome, [mm] \forall [/mm] Einführung und ein Speziallfall der [mm] \forall [/mm] Einführung (der nicht im Skript steht): [mm] \vdash_L \psi [/mm] dann folgt auch [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \psi
[/mm]
(1) hab ich hinbekommen:
[mm] \vdash_L (\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \phi \frac{t}{x}) [/mm] ist [mm] \forall [/mm] Quantoraxiom mit t ein L-Term und x frei für t in [mm] \phi
[/mm]
[mm] \vdash_L(\phi \frac{t}{x} \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi) [/mm] ist [mm] \exists [/mm] Quantoraxiom
[mm] (((X\rightarrow [/mm] Y) [mm] \wedge (Y\rightarrow [/mm] Z)) [mm] \rightarrow [/mm] (X [mm] \rightarrow [/mm] Z)) ist eine allgemeingültige aussagenlogische Formel also ist [mm] (((\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \phi \frac{t}{x}) \wedge (\phi \frac{t}{x} \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi)) \rightarrow (\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi [/mm] )) Tautologie
Es folgt also mit Aussagenlogik [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi
[/mm]
Hat wer einen Tipp zu (2)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 20.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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