Hessesche Normalform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:50 Do 17.09.2009 | | Autor: | marike |
Guten Morgen Zusammen,
habe gerade in meinen Unterlagen etwas von der Hessesche Normalform die Gleichung
x cos [mm] \alpha [/mm] + x sin [mm] \alpha [/mm] - p = 0
wie lässt sich die Formel herleiten
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Zusammen,
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> habe gerade in meinen Unterlagen etwas von der Hessesche
> Normalform die Gleichung
>
> x cos [mm]\alpha[/mm] + x sin [mm]\alpha[/mm] - p = 0
Ich nehme an, es handelt sich um die Darstellung von Geraden im [mm] \IR^2.
[/mm]
Oben hast Du Dich verschrieben. Es sollte lauten:
x cos [mm]\alpha[/mm] + y sin [mm]\alpha[/mm] - p = 0
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> wie lässt sich die Formel herleiten
Wir gehen aus von der Parameterdarstellung einer Geraden g im [mm] \IR^2:
[/mm]
g: [mm] $\vektor{x \\ y}= \vektor{x_0 \\ y_0}+t \vektor{u \\ v}$ [/mm] (*)
Sei n ein Vektor der euklidischen Länge 1, der senkrecht auf [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] steht ( esgilt also $n* [mm] \vektor{u \\ v}= [/mm] 0$). Dieser Vektor lässt sich schreiben in der Form
$n= [mm] \vektor{cos(\alpha) \\ sin(\alpha)}$.
[/mm]
Die Gl. (*) multiplizieren wir mit n (Skalarprodukt) und erhalten:
[mm] $\vektor{x \\ y}*n [/mm] = [mm] \vektor{x_0 \\ y_0}*n$
[/mm]
Das Skalarprodukt rechts nennen wir p. Damit hat g nun die folgende Darstellung:
[mm] $\vektor{x \\ y}* \vektor{cos(\alpha) \\ sin(\alpha)}= [/mm] p$
Nur anders geschrieben:
$x [mm] cos(\alpha)+y sin(\alpha)-p=0$
[/mm]
FRED
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> danke
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 17.09.2009 | | Autor: | marike |
danke für die ausführliche Erläuterung - nun verstehe ich die Herleitung
gruss
Marike
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