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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 07.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] offen, [mm] f\in\IC^{2}(\Omega), x\in\Omega [/mm] gradf(x)=0. Dann gilt:
[mm] H_{f}(x) [/mm] ist pos./neg. definit [mm] \Rightarrow [/mm] x lok. isoloiertes Maximum/Minimum |
Hallo,
im Großen und Ganzen ist mir der Beweis klar, eine Frage habe ich aber trotzdem...
Beweis:
Sei [mm] h_{f} [/mm] pos. definit: [mm] Q(h)=h^{T}h_{f}h, Q:\IR^{n}\to\IR [/mm] stetig. Sei [mm] \alpha=min_{||h||=1}Q(h). [/mm] Das Minimum ex. weil S kompakt.
Also [mm] \alpha>0 [/mm] ud es gilt f(x+h)-f(x)=<grad [mm] f(x),h>+\bruch{1}{2}Q(h)+R_{3}(h)=0+||h||^{2}(\bruch{1}{2}\bruch{Q(h)}{||h||^{2}}+\bruch{R_{3}}{||h||^{2}})=||h||^{2}(\bruch{1}{2}Q(\bruch{h}{||h||})+\bruch{R_{3}(h)}{||h||^{2}})
[/mm]
So, ich habe mir bei diesem Schritt rangeschrieben, dass man da h rauskürzen kann, weil in dem Q ja 2 h enthalten sind, das versteh ich grad nicht mehr so. Ich habe das [mm] h^{T}H_{f}h [/mm] ersetzt, kann ich das jetzt enfach so wiedre kürzen?
Der Rest des Beweises ist kein Problem.
Viele Grüße,
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 07.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\Omega\subset\IR^{n}[/mm] offen, [mm]f\in\IC^{2}(\Omega), x\in\Omega[/mm]
> gradf(x)=0. Dann gilt:
> [mm]H_{f}(x)[/mm] ist pos./neg. definit [mm]\Rightarrow[/mm] x lok.
> isoloiertes Maximum/Minimum
> Hallo,
> im Großen und Ganzen ist mir der Beweis klar, eine Frage
> habe ich aber trotzdem...
> Beweis:
> Sei [mm]h_{f}[/mm] pos. definit: [mm]Q(h)=h^{T}h_{f}h, Q:\IR^{n}\to\IR[/mm]
> stetig. Sei [mm]\alpha=min_{||h||=1}Q(h).[/mm] Das Minimum ex. weil
> S kompakt.
> Also [mm]\alpha>0[/mm] ud es gilt f(x+h)-f(x)=<grad
> [mm]f(x),h>+\bruch{1}{2}Q(h)+R_{3}(h)=0+||h||^{2}(\bruch{1}{2}\bruch{Q(h)}{||h||^{2}}+\bruch{R_{3}}{||h||^{2}})=||h||^{2}(\bruch{1}{2}Q(\bruch{h}{||h||})+\bruch{R_{3}(h)}{||h||^{2}})[/mm]
> So, ich habe mir bei diesem Schritt rangeschrieben, dass
> man da h rauskürzen kann, weil in dem Q ja 2 h enthalten
> sind, das versteh ich grad nicht mehr so. Ich habe das
> [mm]h^{T}H_{f}h[/mm] ersetzt, kann ich das jetzt enfach so wiedre
> kürzen?
> Der Rest des Beweises ist kein Problem.
> Viele Grüße,
> Caro
[mm]\bruch{Q(h)}{||h||^{2}} = \bruch{h^{T}H_{f}h}{||h||^{2}} = \bruch{h^{T}}{||h||} H_f \bruch{h}{||h||} = Q(\bruch{h}{||h||})[/mm].
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