Hesse Matrix Determinante... < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 22.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche Extremwerte besitzt die Funktion
f(x,y) = [mm] 3x^2 [/mm] +3xy [mm] +3y^2 [/mm] -9x +1 |
Moin Moin!
zur Extremwertbestimmung bilde ich zunächste die partiellen Ableitungen
[mm] f_x [/mm] = 6x +3y -9
[mm] f_y [/mm] = 3x +6y
Dann setze ich diese gleich null.
I. 0 = 6x +3y -9
II. 0 = 3x +6y
=> x= 2; y = -1 (2;-1) ist mgl. Extrempunkt.
Bilden der 2. partiellen Ableitungen
[mm] f_{xx} [/mm] = 6
[mm] f_{xy} [/mm] = 3
[mm] f_{yx} [/mm] = 3
[mm] f_{yy} [/mm] = 6
H = [mm] \pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }
[/mm]
Ich würde jetzt die Determinanten bilden
[mm] d(f_{xx}) [/mm] = 6 > 0
d(H) = 27 > 0
H ist somit positiv definit => Minimum.
Was ich allerdings nicht verstehe: In der Musterlösung wird untersucht, ob
[mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] - [mm] (f_{xy})^2 [/mm] > 0 ?
Jetzt frage ich mich, ist das die Determinante von H ??
Und warum muss die Determinante von H (bzw. dieser Ausdruck) > 0 sein, damit ein Extremum vorliegt??
Ferner wird in der Musterlösung noch geprüft, ob [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] größer oder kleinmer null ist...
[mm] f_{xx} [/mm] = 6 > 0
[mm] f_{yy} [/mm] = 6 > 0 => Minimum.
Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm] f_{xx} [/mm] zu untersuchen?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Fr 22.05.2015 | | Autor: | chrisno |
> ....
> => x= 2; y = -1 (2;-1) ist mgl. Extrempunkt.
>
> Bilden der 2. partiellen Ableitungen
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6
> [mm]f_{xy}[/mm] = 3
> [mm]f_{yx}[/mm] = 3
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6
>
> H = [mm]\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }[/mm]
>
> Ich würde jetzt die Determinanten bilden
>
> [mm]d(f_{xx})[/mm] = 6 > 0
Wofür diese?
>
> d(H) = 27 > 0
>
> H ist somit positiv definit => Minimum.
>
> Was ich allerdings nicht verstehe: In der Musterlösung
> wird untersucht, ob
>
> [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] - [mm](f_{xy})^2[/mm] > 0 ?
>
> Jetzt frage ich mich, ist das die Determinante von H ??
Etwas genauer: $H(x,y) = [mm] \pmat{ f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) }$
[/mm]
Du hast nun direkt x=2 und y=-1 eingesetzt. Man kann auch zuerst die Determinante ausrechnen und dann einsetzen.
>
> Und warum muss die Determinante von H (bzw. dieser
> Ausdruck) > 0 sein, damit ein Extremum vorliegt??
Das beantworte ich nicht. Das ist lange her und ich müsste in eines der Bücher schauen, die ich gerade wegwerfen will. Es ist die höhere Version der hinreichenden Bedingung f''(x) > 0.
>
> Ferner wird in der Musterlösung noch geprüft, ob [mm]f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{yy}[/mm] größer oder kleinmer null ist...
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
>
> Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> untersuchen?
Auch das ist nicht nötig. Nach dem Ergebnis der Untersuchung von H ist die Existenz des Minimums gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 22.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> > Bilden der 2. partiellen Ableitungen
> >
> > [mm]f_{xx}[/mm] = 6
> > [mm]f_{xy}[/mm] = 3
> > [mm]f_{yx}[/mm] = 3
> > [mm]f_{yy}[/mm] = 6
> >
> > H = [mm]\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }[/mm]
> >
> > Ich würde jetzt die Determinanten bilden
> >
> > [mm]d(f_{xx})[/mm] = 6 > 0
> Wofür diese?
Diese gehört zum Nachweis, dass die Matrix positiv definit ist.
> > d(H) = 27 > 0
> >
> > H ist somit positiv definit => Minimum.
> >
I. Was ich allerdings nicht verstehe: In der Musterlösung
wird untersucht, ob
[mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] - [mm](f_{xy})^2[/mm] > 0 ?
II. Jetzt frage ich mich, ist das die Determinante von H ??
> Etwas genauer: [mm]H(x,y) = \pmat{ f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) }[/mm]
>
> Du hast nun direkt x=2 und y=-1 eingesetzt. Man kann auch
> zuerst die Determinante ausrechnen und dann einsetzen.
Nein, ich habe nichts eingesetzt. Die Elemente von H enthalten weder ein x noch ein y.
> >
III. Und warum muss die Determinante von H (bzw. dieser Ausdruck) > 0 sein, damit ein Extremum vorliegt??
Vielleicht kann das jemand anderes beantworten?!
IV. Ferner wird in der Musterlösung noch geprüft, ob [mm]f_{xx}[/mm]
und [mm]f_{yy}[/mm] größer oder kleinmer null ist...
[mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
[mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
> > Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> > untersuchen?
> Auch das ist nicht nötig. Nach dem Ergebnis der
> Untersuchung von H ist die Existenz des Minimums gezeigt.
>
Vielleicht habe ich mich nicht klar ausgedrückt.
Es geht um den (alternativen) Lösungsweg der Musterlösung; die ohne die H-Matrix auskommt.
[mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
[mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
V. Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
untersuchen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Fr 22.05.2015 | | Autor: | chrisno |
>....
> > > Ich würde jetzt die Determinanten bilden
> > >
> > > [mm]d(f_{xx})[/mm] = 6 > 0
> > Wofür diese?
>
> Diese gehört zum Nachweis, dass die Matrix positiv definit
> ist.
da hast Du Recht, ist schon lange her bei mir
> ....
> > Etwas genauer: [mm]H(x,y) = \pmat{ f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) }[/mm]
>
> >
> > Du hast nun direkt x=2 und y=-1 eingesetzt. Man kann auch
> > zuerst die Determinante ausrechnen und dann einsetzen.
>
> Nein, ich habe nichts eingesetzt. Die Elemente von H
> enthalten weder ein x noch ein y.
Ist bei Dir H nicht die Hesse-Matrix? -> Wikipedia
>
> ....
> Vielleicht habe ich mich nicht klar ausgedrückt.
> Es geht um den (alternativen) Lösungsweg der
> Musterlösung; die ohne die H-Matrix auskommt.
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
>
> V. Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> untersuchen?
Da musst Du noch mehr angeben. Nur die Aussagen
[mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
[mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0
reichen nicht aus. Mit ein wenig Zeit konstruiere ich eine Funktion, die diese Bedingung erfüllt, aber kein Extremum an der untersuchten Stelle hat. Die Idee: In den Schnitten entlang der x-z-Ebene und der y-z-Ebene siehst Du eine nach oben geöffnete Parabel, in den Schnitten entlang der um 45° um die z-Achse gedrehten Ebenen siehst Du eine nach unten geöffnete Parabel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Fr 22.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Die Hesse-Matrix
In der Hesse-Matrix einer Funktion werden alle zweiten partiellen Ableitungen zusammengefasst. In der ersten Zeile stehen dabei alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.
Schreibweise Hesse-Matrix
[mm] H(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }
[/mm]
und das ist hier
[mm] H(x,y)=\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }
[/mm]
H enthält daher auch kein x und kein y; (was natürlich theortisch vorkommen kann).
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Hallo hase-hh,
> Moin,
>
> > > Bilden der 2. partiellen Ableitungen
> > >
> > > [mm]f_{xx}[/mm] = 6
> > > [mm]f_{xy}[/mm] = 3
> > > [mm]f_{yx}[/mm] = 3
> > > [mm]f_{yy}[/mm] = 6
> > >
> > > H = [mm]\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }[/mm]
> > >
> > > Ich würde jetzt die Determinanten bilden
> > >
> > > [mm]d(f_{xx})[/mm] = 6 > 0
> > Wofür diese?
>
> Diese gehört zum Nachweis, dass die Matrix positiv definit
> ist.
>
> > > d(H) = 27 > 0
> > >
> > > H ist somit positiv definit => Minimum.
> > >
>
> I. Was ich allerdings nicht verstehe: In der Musterlösung
> wird untersucht, ob
>
> [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] - [mm](f_{xy})^2[/mm] > 0 ?
>
> II. Jetzt frage ich mich, ist das die Determinante von H
> ??
>
> > Etwas genauer: [mm]H(x,y) = \pmat{ f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) }[/mm]
>
> >
> > Du hast nun direkt x=2 und y=-1 eingesetzt. Man kann auch
> > zuerst die Determinante ausrechnen und dann einsetzen.
>
> Nein, ich habe nichts eingesetzt. Die Elemente von H
> enthalten weder ein x noch ein y.
>
> > >
>
> III. Und warum muss die Determinante von H (bzw. dieser
> Ausdruck) > 0 sein, damit ein Extremum vorliegt??
>
> Vielleicht kann das jemand anderes beantworten?!
>
Siehe dazu meine Antwort hier.
Um auf diese Determinante von H zu kommen,
musst Du, nach Anwendung des MWS, quadratisch ergänzen.
>
> IV. Ferner wird in der Musterlösung noch geprüft, ob
> [mm]f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{yy}[/mm] größer oder kleinmer null ist...
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
>
> > > Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> > > untersuchen?
> > Auch das ist nicht nötig. Nach dem Ergebnis der
> > Untersuchung von H ist die Existenz des Minimums gezeigt.
> >
>
> Vielleicht habe ich mich nicht klar ausgedrückt.
> Es geht um den (alternativen) Lösungsweg der
> Musterlösung; die ohne die H-Matrix auskommt.
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
>
> V. Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> untersuchen?
>
Gruss
MathePower
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Hallo hase-hh,
> Welche Extremwerte besitzt die Funktion
>
> f(x,y) = [mm]3x^2[/mm] +3xy [mm]+3y^2[/mm] -9x +1
> Moin Moin!
>
> zur Extremwertbestimmung bilde ich zunächste die
> partiellen Ableitungen
>
> [mm]f_x[/mm] = 6x +3y -9
>
> [mm]f_y[/mm] = 3x +6y
>
>
> Dann setze ich diese gleich null.
>
> I. 0 = 6x +3y -9
> II. 0 = 3x +6y
>
> => x= 2; y = -1 (2;-1) ist mgl. Extrempunkt.
>
>
> Bilden der 2. partiellen Ableitungen
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6
>
> [mm]f_{xy}[/mm] = 3
>
> [mm]f_{yx}[/mm] = 3
>
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6
>
>
> H = [mm]\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }[/mm]
>
>
> Ich würde jetzt die Determinanten bilden
>
> [mm]d(f_{xx})[/mm] = 6 > 0
>
> d(H) = 27 > 0
>
>
> H ist somit positiv definit => Minimum.
>
>
> Was ich allerdings nicht verstehe: In der Musterlösung
> wird untersucht, ob
>
> [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] - [mm](f_{xy})^2[/mm] > 0 ?
>
> Jetzt frage ich mich, ist das die Determinante von H ??
>
> Und warum muss die Determinante von H (bzw. dieser
> Ausdruck) > 0 sein, damit ein Extremum vorliegt??
>
Betrachte hierzu die Änderung von f(x,y) in einer kleinen Umgebung,
und wende darauf dann den Mittelwertsatz an.
> Ferner wird in der Musterlösung noch geprüft, ob [mm]f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{yy}[/mm] größer oder kleinmer null ist...
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6 > 0
> [mm]f_{yy}[/mm] = 6 > 0 => Minimum.
>
> Da frage ich mich, reicht es hier nicht aus, [mm]f_{xx}[/mm] zu
> untersuchen?
>
>
> Danke & Gruß
>
Gruss
MathePower
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