Hesse-Normalenform < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mo 11.05.2009 | | Autor: | core_1 |
Wenn ich eine Ebene in der Koordinatenform habe
zum Beispiel --> E:1x+2y+3z=1
Wenn ich das in die (Hesse)Normalenform überführe:
kommt ja E:( [mm] \vektor{x \\ y\\x}-\vektor{1\\ 0\\0})*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{14}}\\ \bruch{2}{\wurzel{14}}\\\bruch{3}{\wurzel{14}}}
[/mm]
Nun ist mir schon mal vorgekommen, dass jemand die Koordinatenform so um geschrieben hat
--> [mm] \bruch{1}{\wurzel{14}}(1x+2y+3z-1)=0
[/mm]
Meine Frage ist, wie das gemacht wurde...
das mit dem [mm] \bruch{1}{\wurzel{14}} [/mm] kann ich mir mit dem Distributivgesetz erklären, aber das andere hmm...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich glaub ich habs...das ist einfach die Koordinatendarstellung der HNF und die andere ist die vektorielle, wenn man die vektorielle ausmultipliziert, kommt man auf die Koordinatendarstellung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 12.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo core,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zunächst wurde die $1_$ auf die linke Seite gebracht. Anschließend wurde die Gleichung durch die Länge desjenigen Normalenvektors geteilt, den man aus der Koordinatenform ablesen kann:
$$E \ : \ 1x+2y+3z \ = \ 1$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ [mm] \vec{n}_E [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\3}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ [mm] \left|\vec{n}_E\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\vektor{1\\2\\3}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1^2+2^2+3^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{14}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:40 Di 12.05.2009 | | Autor: | core_1 |
Hallo,
soweit war ich auch schon =), hätte ich evt. noch dazu schreiben sollen.
Mir geht es eher darum, warum ich die Hesse-Normalenform auch so umschreiben kann, warum das so funktionier. Eine Herleitung wäre nicht schlecht!
in Büchern findet man ja meistens diese Form: [mm] E:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})*\overrightarrow{n_{o}}
[/mm]
So steht bei mir im Buch: Mathematik 12.2 Cornelsen Seite 166, was auch einleuchtend ist. Aber warum, ich die Hesse-Form auch wie oben gezeigt umstellen kann, versteh ich nicht. Welches Gedankenmodel liegt da zu Grunde? > Hallo core,
>
> !!
>
>
> Zunächst wurde die [mm]1_[/mm] auf die linke Seite gebracht.
> Anschließend wurde die Gleichung durch die Länge desjenigen
> Normalenvektors geteilt, den man aus der Koordinatenform
> ablesen kann:
> [mm]E \ : \ 1x+2y+3z \ = \ 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \ \vec{n}_E \ = \ \vektor{1\\2\\3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ \left|\vec{n}_E\right| \ = \ \left|\vektor{1\\2\\3}\right| \ = \ \wurzel{1^2+2^2+3^2} \ = \ \wurzel{14}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 14.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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