Hesse-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 26.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Zu bestimmen sind die lokalen Extrema von
[mm] f_1(x,y)=x^2+y^4 [/mm]
[mm] f_2(x,y)=x^2
[/mm]
[mm] f_3(x,y)=x^2+y^3 [/mm] |
Hallo.
Jetzt bin ich schon wieder da...
Also zuerst sind die Gradienten zu bestimmen:
grad [mm] f_1(x,y)=(2x,4y^3)
[/mm]
grad [mm] f_2(x,y)=(2x,0)
[/mm]
grad [mm] f_3(x,y)=(2x,3y^2)
[/mm]
=> Im Punkt z=(0,0) ist grad [mm] f_i(z)=0 [/mm] für i=1,2,3, also ist z kritischer Punkt für [mm] f_i.
[/mm]
Nun müsste ich die Hesse Matrix bestimmen, um die Art der Extrema zu bestimmen.
Die Hesse-Matrix ist [mm] H_{f_i}(z)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Meine Frage nun: Wie komme ich auf diese Hesse-Matrix? Ich les schon in meinen Büchern nach, aber da is das immer so aufgeschrieben, dass ich's nicht versteh. Kann mir das jemand in Worten formulieren, welche Werte ich einsetzen muss?
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Hallo lubalu,
> Zu bestimmen sind die lokalen Extrema von
> [mm]f_1(x,y)=x^2+y^4[/mm]
> [mm]f_2(x,y)=x^2[/mm]
> [mm]f_3(x,y)=x^2+y^3[/mm]
> Hallo.
>
> Jetzt bin ich schon wieder da...
>
> Also zuerst sind die Gradienten zu bestimmen:
>
> grad [mm]f_1(x,y)=(2x,4y^3)[/mm]
>
> grad [mm]f_2(x,y)=(2x,0)[/mm]
>
> grad [mm]f_3(x,y)=(2x,3y^2)[/mm]
>
> => Im Punkt z=(0,0) ist grad [mm]f_i(z)=0[/mm] für i=1,2,3, also
> ist z kritischer Punkt für [mm]f_i.[/mm]
>
> Nun müsste ich die Hesse Matrix bestimmen, um die Art der
> Extrema zu bestimmen.
>
> Die Hesse-Matrix ist [mm]H_{f_i}(z)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }.[/mm]
>
> Meine Frage nun: Wie komme ich auf diese Hesse-Matrix? Ich
> les schon in meinen Büchern nach, aber da is das immer so
> aufgeschrieben, dass ich's nicht versteh. Kann mir das
> jemand in Worten formulieren, welche Werte ich einsetzen
> muss?
Bilde zunächst die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen.
Setze dann in diese zweiten partiellen Ableitungen
den kritischen Punkt (für x=0 und y=0) ein.
Bilde hier also [mm]\left(f_{i}\right)_{xx}\left(0,0\right), \ \left(f_{i}\right)_{xy}\left(0,0\right), \ \left(f_{i}\right)_{yy}\left(0,0\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 26.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Ich schreib jetzt mal auf,wie ich bei [mm] f_1 [/mm] vorgehen würde.
Also:
[mm] \bruch{df_1}{dx}=2x [/mm] => [mm] \bruch{df_1}{dx}\bruch{df_1}{dx}=2
[/mm]
[mm] \bruch{df_1}{dy}=4y^3 [/mm] => [mm] \bruch{df_1}{dy}\bruch{df_1}{dy}=12y^2
[/mm]
[mm] \bruch{df_1}{dx}=2x [/mm] => [mm] \bruch{df_1}{dx}\bruch{df_1}{dy}=0
[/mm]
[mm] \bruch{df_1}{dy}=4y^3 [/mm] => [mm] \bruch{df_1}{dy}\bruch{df_1}{dx}=0
[/mm]
Also folgt für die Hesse-Matrix [mm] H_{f_1}(x,y)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 12y^2 }.
[/mm]
Setze ich meinen kritischen Punkt z=(0,0) ein, komme ich auf die o.g. Matrix [mm] H_{f_1}(z)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Noch eine Frage: Da ich mit x und y zwei Variablen habe, erhalte ich eine 2x2-Matrix. Bei 3 Variablen erhalte ich eine 3x3-Matrix usw.?
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Hallo lubalu,
> Ich schreib jetzt mal auf,wie ich bei [mm]f_1[/mm] vorgehen würde.
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> Also:
> [mm]\bruch{df_1}{dx}=2x[/mm] => [mm]\bruch{df_1}{dx}\bruch{df_1}{dx}=2[/mm]
> [mm]\bruch{df_1}{dy}=4y^3[/mm] =>
> [mm]\bruch{df_1}{dy}\bruch{df_1}{dy}=12y^2[/mm]
Da das eine Funktion von 2 Variablen ist,
werden die partiellen Ableitungen so geschrieben:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}, \ \bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
Entsprechend dann die zweiten partiellen Ableitungen:
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial x}\ \right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \ \partial y}=\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial y}\ \right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial x}\ \right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial y}\ \right)[/mm]
Die Vertauschungsregel bei der gemischten
zweiten partiellen Ableitung, gilt nur,
wenn f zweimal stetig differenzierbar ist
und diese partielle Ableitung auch stetig ist.
> [mm]\bruch{df_1}{dx}=2x[/mm] => [mm]\bruch{df_1}{dx}\bruch{df_1}{dy}=0[/mm]
> [mm]\bruch{df_1}{dy}=4y^3[/mm] =>
> [mm]\bruch{df_1}{dy}\bruch{df_1}{dx}=0[/mm]
>
> Also folgt für die Hesse-Matrix [mm]H_{f_1}(x,y)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 12y^2 }.[/mm]
>
> Setze ich meinen kritischen Punkt z=(0,0) ein, komme ich
> auf die o.g. Matrix [mm]H_{f_1}(z)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Noch eine Frage: Da ich mit x und y zwei Variablen habe,
> erhalte ich eine 2x2-Matrix. Bei 3 Variablen erhalte ich
> eine 3x3-Matrix usw.?
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 26.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Also nochmal ein Versuch, wie ich das richtig formulieren muss.
[mm] \bruch{d f_1}{dx}=2x
[/mm]
[mm] \bruch{d f_1}{dy}=4y^3
[/mm]
Also folgt für die zweiten partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{d^2 f_1}{dx^2}=\bruch{d}{dx}\bruch{d f_1}{dx}= \bruch{d}{dx}2x=2
[/mm]
[mm] \bruch{d^2 f_1}{dy^2}=\bruch{d}{dy}\bruch{d f_1}{dy}=\bruch{d}{dy}4y^3=12y^2
[/mm]
[mm] \bruch{d^2 f_1}{dx \ dy}=\bruch{d}{dx}\bruch{d f_1}{dy}=\bruch{d}{dx}4y^3=0
[/mm]
[mm] \bruch{d^2 f_1}{dy \ dx}=\bruch{d}{dy}\bruch{d f_1}{dx}= \bruch{d}{dy}2x=0
[/mm]
Weiter in der Aufgabe: Die Hesse-Matrix ist also von folgender Form: [mm] H_{f_1}(z)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Um nun prüfen zu können, ob ein lokales Maximum oder Minimum in z vorliegt, kann man im Normalfall doch anwenden, dass [mm] H_f [/mm] negativ oder positiv definit ist. Das funktioniert hier nicht. Ebenso wie die Bestimmung der Eigenwerte und der Hauptminoren.
Wie muss man also weiter machen, um die Art der Extrema zu bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 26.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
warum sollte es nicht gehen.
Stellen wir einmal das charakteristische Polynom auf:
[mm] det(\lambda [/mm] I [mm] -H)=det\pmat{ \lambda -2 & 0 \\ 0 & -\lambda } [/mm] = [mm] (-\lambda)*(\lambda-2)=-\lambda^2+2\lambda--> \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2=2
[/mm]
ist äquivalent zu
[mm] det(H-\lambda I)=det\pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & \lambda } [/mm] = [mm] (\lambda)*(2-\lambda)=-\lambda^2+2\lambda--> \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2=2
[/mm]
damit hast du was für eine Matrix?
indefinit-->Sattelpunkt
definit-->lokales Extrema
Meine Vermutung wäre:
sichere Seite bei Semidefinitheit: keine Aussage möglich, denn es muss irgendwie dazwischen liegen...
hoffe es hilft soweit
Gruß
Ultio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 26.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Ja,stimmt...Das mit den EWen hab ich wieder verplant. Mit den EWen 0 und 2 hab ich also eine positiv semidefinite Matrix. Dies hilft mir aber hier nicht weiter, weil ich bei Semidefinitheit keine Aussage bzgl. der Art des kritischen Punktes treffen kann,oder?
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Hallo lubalu,
> Ja,stimmt...Das mit den EWen hab ich wieder verplant. Mit
> den EWen 0 und 2 hab ich also eine positiv semidefinite
> Matrix. Dies hilft mir aber hier nicht weiter, weil ich bei
> Semidefinitheit keine Aussage bzgl. der Art des kritischen
> Punktes treffen kann,oder?
Ja, da mußt Du Dir etwas anderes einfallen lassen.
Das naheliegendeste ist die Funktion selbst zu betrachten.
Gruss
MathePower
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