Heron-Verf. u. Intervallschach < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Ich muss mich in das Thema Homerisches-Verfahren, Intervallschachtelg. u. Näherungsverfahren einarbeiten. Niveau 8. Kl. Gym. |
Es wird sicher keine Aufgabe geben, die da heißt:
Bilde die Wurzel aus 146 mit dem Heron-Verf.
Das wäre zu schön.
Sicher wird es irgendwelche Textaufgaben dazu geben oder andere "komische" Fragestellungen.
Welche könnten das sein? Vielleicht kann jmd. 2 oder sogar 3 Beispiele geben?
Das wäre schön!
Sehr schön!!!
Vielen DANK schon mal vorab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Ich brauche 2-3 konkrete Aufg. zu
"Heronverfahren, Intervallschachtelg. u. Näherung."
Was f. Aufg. könnte es noch geben, außer
- Wie ist die Radix von Quadratwurzel aus 13 oder
- Ein Rechteck ist 4 cm lang u. 2 cm breit. Wandel das Rechteck um in ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt.
Oder gibt es etwa nur diese beiden Aufg.-Typen? (die kann ich)
Vielleicht kann mir jmd. 2 Aufg. geben?
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> "Heronverfahren, Intervallschachtelg. u. Näherung."
Ich nehme an, dass es dir einfach darum geht, die Lösung einer Gleichung durch "Probieren" zu finden. Du setzt einen Anfangswert ein, und dann näherst du dich immer weiter dem Ergebnis an.
Beispiel:
5*x=56.35
Wenn x=11, dann kommt 55 (zu wenig) raus
Wenn x=12, dann kommt 60 (zu viel) raus
Der Wert liegt also zwischen 11 und 12
Wenn x=11.5, dann kommt 57.5 (zu viel) raus
Der Wert liegt also zwischen 11 und 11.5 und so weiter
In diesem Fall wäre es natürlich einfacher, gleich 56.35 durch 5 zu dividieren, aber es gibt auch Gleichungen, die sich nicht so einfach nach x auflösen lassen.
Zum Beispiel: [mm] x^{2}+sin(x)=0.4
[/mm]
Hier könnte man durch schrittweise Näherung raus kriegen", zwischen welchen Zahlen x liegen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo rabilein,
was du erklärst mit einem immer kleiner werdenen Intervall ist genau das, was wir können müssen u. was ich auch schon kann.
Dein Aufg.beispiel: $ [mm] x^{2}+sin(x)=0.4 [/mm] $
Winkelfunktionen haben wir noch nicht gehabt.
Etwas tröstlich, denn dann scheint es, dass da nichts Schwereres in der Kl-Arb. dran kommt.
Trotzdem DANKE f. deine Antw.
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Hallo nochmal !!!
Hab mir eine konkrete Aufgabe aus'm Netz geholt:
Sei [mm] $f(x)=1-\frac{5}{x^2}$ [/mm] eine Funktion. Sei [mm] $x_0=3$.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion durch Näherung mit dem Newton-Verfahren (Heron ist eine Folgerung daraus) auf 5 Dezimalstellen genau.
b) Berechnen Sie den Fehler zum wirklichen Resultat.
Zunächst einmal ist es eindeutig sichtbar, dass die Funktion als Nullstellen gerade die Wurzeln von 5 enthält. Es vereinfacht später das Überprüfen.
Für Übungszwecke jedoch poste hier mal deinen Rechenweg, die einzelnen Schritte und die komplette Lösung.
(Hinweis: [mm] $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ [/mm] )
Gruß Mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
So eine Aufg. ist doch eine schöne Verkleidung.
Meine Schülerin hat noch keine Parabeln, aber ich habe trotzdem versucht, sie zu lösen.
Warum x Index Null = 3 sein soll habe ich allerdings nicht kapiert.
Wie ich vorgegangen bin:
Ich habe die Fkt.Gleichg. gleich Null gesetzt, um an die Nullstellen zu kommen u. bei der Gleichg. folgende Rechenschritte gemacht:
a) -1
b) * (-1)
c) * [mm] x^2
[/mm]
Ergebnis: [mm] x^2 [/mm] = 5
Nun will ich wissen, was die Wurzel aus 5 ist.
2 * 2 = 4
3 * 3 = 9
Also denke ich zwischen 2 und 2,5 ist schon ganz gut.
Das arythmet. Mittel ist 2,25
Und 5 geteilt durch 2,25 = 2,2222
Jetzt wied. arythmet. Mittel u. wieder Ergebnis durch das Ergebnis.
Dann erhalte ich 2,236068.
[mm] (2,236068)^2 [/mm] = 5,0000001
Gut oder? Jedenfalls freue ich mich.
D.h. ich habe schon mal 2 Nullstellen:
+ 2,236068 und
- 2,236068
Und: Bisher hatte ich nur mit ganz-rat. Fkt. zu tun. Und diese hier vermutl. ist eine gebroch.-rat. Fkt. - stimmt das?
Was das Thema "Heron-Näherung-Intervallschachtelg." betrifft glaube ich muss ich mich mit Wurzeln befassen. D.h. z.B.
9 gereilt durch Quadratwurzel aus 3*a.
Ich habe das nie in der Schule gehabt, nur die Potenzgesetze.
Hat jmd. eine gute Seite für die Wurzelgesetze auf einen Blick?
Und kriegt die auch noch jmd. eingebunden in "Heron-Näherung-Intervallschachtelg." ?
Ja, und natürlich ist Homer n anderer als Heron. Aber faszinierend, dass sie so kurz nach der Steinzeit schon Papier u. Stift u. soviele Zahlen kannten u. schon Quadratwurzeln zu Fuß/manuell/ohne TR ziehen konnten. Irre.
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Hallo !!
Ich hatte dir als Hinweis geschrieben, das es sich um das Newton-Näherungsverfahren handelt (Heron ist eine Folge daraus).
Mit dem Gesetz:
$ [mm] x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $ und [mm] $x_0=3$
[/mm]
(x Index Null schreibst du "x _ 0" ohne Leerzeichen)
Mit [mm] $f'(x_n)$ [/mm] ist die Ableitung der Funktion $f$ and der Stelle [mm] $x_n$ [/mm] gemeint
Das Prinzip ist, dass du mit dem Startwert [mm] $x_0=3$ [/mm] auch einen Funktionswert erhälts. An diesem Punkt $(3,f(3))$ wird die Tangente angelegt und schneidet die x-Achse im Punkt [mm] $(x_1,0)$.
[/mm]
Nun bildest du den Funktionswert [mm] $f(x_1)$ [/mm] und bestimmst wiederum die Tangente an dem Punkt [mm] $(x_1,f(x_1))$, [/mm] die dann die x-Achse bei [mm] $(x_2,0)$ [/mm] schneidet.
So geht es dann immer weiter...........
Die Schnittpunkte der Tangenten mit der x-Achse nähern sich bei diesem Verfahren der Nullstelle der Funktion an.
Also versuch es mal damit
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Erstens: Du schreibst: "x Index Null schreibst du "x _ 0" ohne Leerzeichen"
Vielen DANK f. diesen Tipp und Hinweis!!!!!
Zweitens: Ok, ich versuche mal deinen Weg; dauert etw.- vllt. ca. 30 Min. Bis gleich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Ich bin sehr gefordert.
Also, ich versuche mal selbst zu denken.
Wenn [mm] x_0 [/mm] = 3, dann
f(3) = 0,444
Die Koordinate habe ich mal in einem Koordinat.-Syst. skizziert.
Ich will die Nullstellen, weiß aber nicht, wie der Graf verläuft, deswegen können die Nullst. li od. re daneben liegen. Ich kenne bisher nur lin. Fkt., quadrat. Fkt., also ganz normale ganz-rat. Fkt.
Mit Brüchen in Fkt. (od. Fkt. als Brüche, keine Ahnung wie man das spricht) hatte ich noch nichts zu tun. Ich weiß also nicht, wie der Graf aussieht, um sagen zu können, in welche Richtig es wohl besser ist mich zu bewegen mit meinem Annähern (Nähergs.verf.). Muss ich vllt. auch gar nicht, weil ich vermutl. das Intervall (2;4), d.h. die Nachbarn von 3, näher betrachten soll. Oder?
Ich würde also einmal x = 2 in die Fkt. u. dann x = 4 in die Fkt. einsetzen.
Aber so ist es sicher nicht gemeint, denn jetzt paßt doch das Heron-Verf. Ich kriege da aber kein Quadrat untergebracht. Es fehlt mir ein Bild, eine praktische Vorstellung.
Und Ableitung, Schreibweise u. Bedeutg. ist mir nicht fremd. Aber, wie das da einbinden oder was hat es da überhaupt zu suchen - keine Ahnung. Schade, weiter komme ich nicht.
Von Ableitg. weiß ich nur: Wenn ich die Ableitg. v. einer Fkt. bilde u. wissen will, wie die Steig. meiner Ausgangs-Fkt. bei zum Beispiel x=11 ist, dann setze ich in diese Ableitg. f´(11) = ...
Dann kriege ich einen Wert raus. Dieser Wert ist die Steig. der Ausgangs-Fkt. bei x = 11.
Mehr weiß ich zu Ableitg. nicht. Reicht das für das wo du mit mir hin willst?
Ach, doch noch was. Weil du noch Tangeneten sprichst, die die x-Achse schneidet: Wenn ich die Ableitg. v. einer Quadrat.-Fkt. (die ja auch eine eigenständige Fkt. ist) zeichne, dann ist der Graf der Ableitg. eine Lin.Fkt. (Gerade).
Ich kriege aber nicht den Zus.hang gebildet zu Heron u. Nullst.
???
Gibt es Hilfe oder zu kompliziert?
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Also nochmal !
Wir haben [mm] $f(x)=1-\frac{5}{x^2}$ [/mm] sowie [mm] $x_0=3$.
[/mm]
Weiterhin die Iterationsvorschrift:
$ [mm] x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $
-----------------------------------------------------
Bilden wir zunächst $f'(x)$:
[mm] $f'(x)=(1-\frac{5}{x^2})'=1-5\cdot x^{-2}=\frac{10}{x^3}$
[/mm]
-------------------------------------------------------
Nun können wir anfangen:
Unser Startwert war [mm] $x_0=3$, [/mm] womit dann
[mm] $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=3-\frac{f(3)}{f'(3)}=3-\frac{108}{90}=3-1,2=1,8$
[/mm]
(Rechnung vereinfacht)
[mm] $x_{2}=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=1,8-\frac{f(1,8)}{f'(1,8)}=2,1168 [/mm] $
[mm] $x_3=2,226695315$
[/mm]
[mm] $x_4=2,236009130$
[/mm]
[mm] $x_5=2,236067975$
[/mm]
An dieser Stelle hören wir mal auf. Ich hoffe bis dahin hast du das Verfahren verstanden.
Nun ist [mm] $\sqrt(5)\approx [/mm] 2,236067977$, womit man sieht, dass wir nur noch einen Fehler von ungefähr [mm] $2\cdot 10^{-9}$ [/mm] haben
Innerhalb von fünf Schritten haben wir also die Nullstelle auf [mm] $2\cdot 10^{-9}$ [/mm] Stellen genau approximiert.
Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Also die Ableitg. (mit im Nenner [mm] x^2) [/mm] zu bilden hätte ich nicht gekonnt.
[mm] x_0= [/mm] 3 soll als Startwert gelten. Soweit so gut.
Aber wieso ist plötzlich die Rede von [mm] x_1?
[/mm]
$ [mm] x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=3-\frac{f(3)}{f'(3)}=3-\frac{108}{90}=3-1,2=1,8 [/mm] $
Meint vielleicht irgendeinen neuen Wert.
Ja, meint einen neuen Wert (1,8)
Na, u. der Rest hört sich alles sehr beeindruckend an.
Aber ist mir -sorry- noch viel zu hoch. Werde ich es jemals können?
Ist das denn noch gymnasiales Schulniveau?
Ach, ich bräuchte noch ein zweites Leben für alle diese schönen Sachen, die man da noch lernen könnte.
Mark, du hast dir viel Mühe gegeben. Aber bitte sei nicht enttäuscht. Zumindest habe ich einen Eindruck, was man alles noch mit Näherungsverfahren machen kann.
Außerdem habe ich gelernt, dass es nicht Interation heißt, sondern Iteration u. ich weiß jetzt was approximieren heißt.
Das ist doch auch schon was.
Ich glaube man könnte allein nur das studieren, soviel -so scheint es mir jetzt- geben "Heron, Näherg., Wurzel u. Newton" her.
DANKE DIR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 15.02.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo nochmal !
Hört sich ja schwer nach "Ich gebs auf" an.......
Die Vorschrift lautet:
$ [mm] x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $
Wenn wir ein [mm] $x_0$ [/mm] haben und sagen, dass ist unser [mm] $x_n$, [/mm] was wäre dann [mm] $x_{n+1}$ [/mm] ?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Ach, wie liebenswürdig von dir, dass du nochmal versuchst, unter die Arme zu greifen.
Wenn wir ein [mm] x_0 [/mm] haben und sagen, dass ist unser [mm] x_0
[/mm]
dann erstmal:
[mm] x_0 [/mm] = [mm] x_1
[/mm]
Wenn das so ist, was wäre dann [mm] x_0+1 [/mm] ?
Nee, keine Ahnung. Weiß auch noch nicht mal, ob ich deine Frage richtig verstanden habe.
Aber jetzt gebe ich wirkl. auf. Es soll doch besser werden, stattdessen immer neue Fragen auf die Fragen der Fragen......
Oder doch:
Meinst du [mm] x_1+1 [/mm]
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Gut gehen wir anders ran:
Sieh dir die Folge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] an.
Wie sieht der Wert [mm] $a_1$ [/mm] aus ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
super Gefühl, kein hoffnungsloser Fall zu sein.
ABER:
Ich habe jetzt "alle" Infos, Anregungen, Hilfen u. versch. Erklärungen ausgedruckt u. muss jetzt an Schreibtisch, obgleich ich lieber in Sessel fallen würde, denn ich habe schon eckige Augen vom PC.
Ich muss mich jetzt ausklinken, aber mein Gefühl sagt mir,
dass ich es JETZT mit aller Hilfe hier vermutl. allein weiterschaffe.
Ich hoffe.
Ansonsten bis nächste Woche.
Dir Mark u. Abakus vielmals herzlichen Dank f. die individuellen Hilfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich bin sehr gefordert.
> Also, ich versuche mal selbst zu denken.
> Wenn [mm]x_0[/mm] = 3, dann
> f(3) = 0,444
> Die Koordinate habe ich mal in einem Koordinat.-Syst.
> skizziert.
> Ich will die Nullstellen, weiß aber nicht, wie der Graf
> verläuft, deswegen können die Nullst. li od. re daneben
> liegen. Ich kenne bisher nur lin. Fkt., quadrat. Fkt., also
> ganz normale ganz-rat. Fkt.
> Mit Brüchen in Fkt. (od. Fkt. als Brüche, keine Ahnung wie
> man das spricht) hatte ich noch nichts zu tun. Ich weiß
> also nicht, wie der Graf aussieht, um sagen zu können, in
> welche Richtig es wohl besser ist mich zu bewegen mit
> meinem Annähern (Nähergs.verf.). Muss ich vllt. auch gar
> nicht, weil ich vermutl. das Intervall (2;4), d.h. die
> Nachbarn von 3, näher betrachten soll. Oder?
> Ich würde also einmal x = 2 in die Fkt. u. dann x = 4 in
> die Fkt. einsetzen.
> Aber so ist es sicher nicht gemeint, denn jetzt paßt doch
> das Heron-Verf. Ich kriege da aber kein Quadrat
> untergebracht. Es fehlt mir ein Bild, eine praktische
> Vorstellung.
> Und Ableitung, Schreibweise u. Bedeutg. ist mir nicht
> fremd. Aber, wie das da einbinden oder was hat es da
> überhaupt zu suchen - keine Ahnung. Schade, weiter komme
> ich nicht.
> Von Ableitg. weiß ich nur: Wenn ich die Ableitg. v. einer
> Fkt. bilde u. wissen will, wie die Steig. meiner
> Ausgangs-Fkt. bei zum Beispiel x=11 ist, dann setze ich in
> diese Ableitg. f´(11) = ...
> Dann kriege ich einen Wert raus. Dieser Wert ist die
> Steig. der Ausgangs-Fkt. bei x = 11.
> Mehr weiß ich zu Ableitg. nicht. Reicht das für das wo du
> mit mir hin willst?
> Ach, doch noch was. Weil du noch Tangeneten sprichst, die
> die x-Achse schneidet: Wenn ich die Ableitg. v. einer
> Quadrat.-Fkt. (die ja auch eine eigenständige Fkt. ist)
> zeichne, dann ist der Graf der Ableitg. eine Lin.Fkt.
> (Gerade).
> Ich kriege aber nicht den Zus.hang gebildet zu Heron u.
> Nullst.
> ???
> Gibt es Hilfe oder zu kompliziert?
Hallo, das Heronverfahren ist ganz einfach:
nehmen wir als Beispiel die Ermittlung von [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
[mm] \wurzel{5} [/mm] ist die Seitenlänge, die ein Quadrat haben muss, damit sein Flächeninhalt 5 beträgt.
Kein Problem! Den Flächeninhalt 5 bekomme ich in einem Rechteck mit den Seitenlägen [mm] a_0=5 [/mm] und [mm] b_0=1.
[/mm]
Ach so, doch ein Problem: Das ist ja nur ein Rechteck Für ein Quadrat müsste es schmaler sein, dafür aber etwas höher.
Basteln wir ein neues Rechteck.
Da die eine Seite zu lang und die andere zu kurz war, nehmen wir für die NEUE Seitzenlänge a den Mittelwert der bisherigen Seitenlängen:
[mm] a_1=\bruch{5+1}{2}. [/mm] Damit auch das neue Rechteck den Inhalt 5 hat, muss [mm] b_1=\bruch{5}{a_1} [/mm] sein.
Das neue Rechteck sieht schon etwas "quadratischer" aus, aber immer noch ist die Länge [mm] a_1 [/mm] etwas größer als die Länge [mm] b_1.
[/mm]
Gleichen wir den Unterschied doch wieder aus. Ein neues Rechteck erhält die Seitenlängen
[mm] a_2=\bruch{a_1+b_1}{2} [/mm] und [mm] b_2=\bruch{5}{a_2}.
[/mm]
Diese beiden Längen sind schon fast gleich, aber man kann sie ja noch mehr annähern ....
Das musst du dir wirklich mal Schritt für Schritt mit dem Taschenrechner ausrechnen. Du wirst merken, dass die Werte für a immer etwas kleiner und die Werte für b immer etwas größer werden (und beide sich gegenseitig annähern.
Schon nach ganz wenigen Schritten hat man ein Rechteck mit dem Inhalt 5, dessen Seitenlängen (fast) gleich und damit jeweils rund [mm] \wurzel{5} [/mm] sind.
Gruß Abakus
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Hallo,
ich habe mir mal erlaubt, in der Überschrift Homer in Heron umzuwandeln. Homer ist doch der Alte mit den spannenden Geschichten Oder hat der auch gerechnet?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 15.02.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> ich habe mir mal erlaubt, in der Überschrift Homer in Heron
> umzuwandeln. Homer ist doch der Alte mit den spannenden
> Geschichten Oder hat der auch gerechnet?
Und bei "Heron" muss ich immer an einen schwarzen Vogel denken.
Soweit ich mich erinnern kann, gibt es da so eine Geschichte, die wir mal im Französisch-Unterricht hatten...
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bei "Heron" muss ich immer an einen schwarzen Vogel denken
... und ich bei "rabilein" ... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
Ihr seid aber auch alle ein paar lustige Vögel
Übrigens, jetzt vergesse ich den Namen Al Chwarismi noch weniger.
Mußte gestern erstmal erforschen, was der Begriff "Algorithmus" bedeutet.
Und dieser Al Charisma ist wohl der Entdecker. Oh Mann du, da hast dir aber n Namen zugelegt. HolaHola.
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> Und dieser Al Charisma ist wohl der Entdecker. Oh Mann
> du, da hast dir aber n Namen zugelegt.
Zugelegt???
Ist der charismatische usbekische Starmathematiker Al Chwarizmi etwa gar nicht echt? Ich brech' zusammen!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 So 15.02.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> bei "Heron" muss ich immer an einen schwarzen Vogel denken
>
> ... und ich bei "rabilein" ...
Woher rabilein1 kommt, ist eine lange Geschichte - kurz erzählt:
Als ich meinen PC ganz neu hatte und mich auf einer Seite anmelden wollte, sollte ich mir einen Nickname zulegen. Außer meinem richtigen Namen fiel mir aber nichts ein also nahm ich die ersten beiden Buchstaben meines Vor- und Zunamens.
Auf einer anderen Seite war rabi aber schon vergeben also nahm ich dort rabilein. Wieder woanders gab es auch schon diesen Nickname und so entstand dann rabilein1, den ich dann hier im Matheraum verwende.
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Hallo nochmal !
Habe dir eine Aufgabe gepostet........
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren
