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Hallo,
ich habe eine Frage zu den Hermite-Polynomen [mm] H_{r}(x).
[/mm]
$y''-2xy'+2ry=0$
Rekursionsformel:
[mm] $a_{n+2}=2*\bruch{(n-r)}{(n+2)*(n+1)}*a_n$
[/mm]
[mm] $y=a_{0}*\left[1-rx^2-\bruch{1}{6}r(2-r)x^4-\bruch{1}{90}r(2-r)(4-r)x^6 - ...\right]+a_1*\left[x+\bruch{1}{3}(1-r)x^3+\bruch{1}{30}(1-r)(3-r)x^5+... \right]$
[/mm]
Nun ist
[mm] $H_{0}(x)=a_0$
[/mm]
[mm] $H_{1}(x)=a_1*x$
[/mm]
[mm] $H_{2}(x)=a_0*[1-2x^2]$
[/mm]
[mm] $H_{3}(x)=a_1*\left[x-\bruch{2}{3}x^3 \right]$
[/mm]
[mm] $H_{4}(x)=a_0*\left[1-4x^2+\bruch{4}{3}x^4\right]$
[/mm]
etc.
Meine Frage ist jetzt, wie kommt man auf die folgenden Konstanten:
[mm] $H_{0}(x)=1$
[/mm]
[mm] $H_{1}(x)=2*x$
[/mm]
[mm] $H_{2}(x)=-2*[1-2x^2]=4x^2-2$
[/mm]
[mm] $H_{3}(x)=-12*\left[x-\bruch{2}{3}x^3 \right]=8x^3-12x$
[/mm]
[mm] $H_{4}(x)=12*\left[1-4x^2+\bruch{4}{3}x^4\right]=16x^4-48x^2+12$
[/mm]
Bei den Legendre-Polynomen gilt ja [mm] L_{r}(1)=1. [/mm] Aber hier?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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http://www.matha.rwth-aachen.de/lehre/ss06/anaprosem/Alexandra_Goeke_Ausarbeitung.pdf