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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 06.10.2009 | | Autor: | tisc |
| Aufgabe | Bestimmen sie H von A:
A = [mm] \pmat{ 0 & 0&1 \\ -3 & 3 &1} [/mm] |
Hallo,
kann mir einer bei folgendem Problem weiterhelfen:
Ich müsste die Hermite Form von von folgender Matrix berechnen und weiss leider nicht wie :(
A = [mm] \pmat{ 0 & 0&1 \\ -3 & 3 &1}
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 0 \\ -1 } [/mm] (wobei man das hier ja nicht wirklich braucht, oder?)
Leider habe nicht einmal einen einfachen bzw. verständlichen Algorithmus gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen sie H von A:
> A = [mm]\pmat{ 0 & 0&1 \\ -3 & 3 &1}[/mm]
>
> kann mir einer bei folgendem Problem weiterhelfen:
>
> Ich müsste die Hermite Form von von folgender Matrix
> berechnen und weiss leider nicht wie :(
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 0&1 \\ -3 & 3 &1}[/mm]
> b = [mm]\pmat{ 0 \\ -1 }[/mm]
> (wobei man das hier ja nicht wirklich braucht, oder?)
Lass mich raten, du willst ein LGS der Form $A x = b$ loesen? Und zwar ueber [mm] $\IZ$?
[/mm]
Dann brauchst du das $b$ erstmal nicht: du bestimmst eine invertierbare Matrix $G$ mit $G A = H$ (in Hermite-Normal-Form) und berechnest dann $G b$, und hast das LGS $H x = G b$. Und dieses ist dann einfacher zu loesen.
Insofern brauchst du $b$ indirekt schon.
> Leider habe nicht einmal einen einfachen bzw.
> verständlichen Algorithmus gefunden.
Hattet ihr in der Vorlesung nie etwas dazu gesagt? Das kann ich grad nicht so richtig glauben.
Im Prinzip geht man so vor, wie beim Gaussschen Algorithmus (d.h. man macht Zeilenumformungen, die ueber [mm] $\IZ$ [/mm] invertierbar sind -- d.h. man addiert Vielfaches von Zeilen zu anderen Zeilen, man multipliziert Zeilen mit [mm] $\pm [/mm] 1$, man vertauscht Zeilen), nur dass man halt nicht mehr alles ueber den Pivotelementen auf 0 bringen kann, sondern nur auf etwas kleiner als das Pivotelement:
hat man etwa [mm]\pmat{ 1 & 5&2 \\ 0 & 3 &2}[/mm], so kann man einmal die zweite von der ersten Zeile abziehen: dann wird aus der 5 eine 2, und $2 < 3$.
Allgemeiner: wenn du als Pivotelement $b$ hast, und darueber $a$, etwa [mm] $\pmat{ \ast & a & \ast \\ 0 & b & \ast }$, [/mm] kannst du $a = q b + r$ schreiben mit $q, r [mm] \in \IZ$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] r < |b|$ (Division mit Rest). Wenn du jetzt $q$-mal die zweite von der ersten Zeile abziehst, bleibt anstelle $a$ nur noch $r$ ueber.
Versuch das ganze doch mal mit deiner Matrix, da ist es echt einfach. (Du bekommst sogar eine ganz normale reduzierte Zeilenstufenform.)
LG Felix
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