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| Aufgabe | Durchfährt ein Massepunkt eine Kurve mit der Gleichung y= f(x), so wirken auf ihn Zentrifugalkräfte, welche außer von der Geschwindigkeit auch von der Krümmung der Kurve abhängen. diese Kräfte ändern sich bei durchlaufen der Kurve stetig, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist, wenn also f'' eine stetige Funktion ist. An diese Zusammenhänge muss man beim Straßenbau denken! Verbinden Sie die geraden "Straßenstücke" in Abb. 13 durch den Graph einer Polynomfunktion p von möglichst kleinem Grad, so dass die enstehende " Straße" durch eine zweimal stetig differenzierbare Funktion beschrieben wird. Zeichnen Sie den Graph von f über dem intervall [-2;2]. Zu Abb. 13 [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \\ -1, & \mbox{für } x \mbox{ <-1} \end{cases}
[/mm]
Polynom soll durch den Punkt Q (0/0) verlaufen und schließt an die Anschlussstellen L1 (1/1) und L2 (-1/-1) an. |
Mein problem ist, dass ich nicht weiß welcher Ordnung dieser Polynom ist, da ich anscheinend zu viele Bedingungen aufgestellt habe.
Festzustellen ist:
f(0) = 0 d = 0
f'(1) = 0 3a+2b+c = 0
f''(1) = 0 6a+2b = 0
f'(-1) = 0 -3ax-2bx+c = 0
f''(-1) = 0 -6a-2b = 0
f(1) = 1 a+b+c = 1
f(-1) = -1 -a-b-c = -1
f(x) = [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx^{1}+d
[/mm]
f'(x) = [mm] 3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x) = 6ax+2b
Da der Graph punktsymmetrisch ist, habe ich nur für 1 und nicht für -1 die Bedingungen genommen.
f(1) = 1 a+b+c = 1
f''(1) = 0 6a+2b = 0
f(0) = 0 d = 0
f'(1) = 0 3a+2b+c = 0
Augelöst habe ich dafür
a = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
b = - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
c = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
d = 0
erhalten, aber der Graph schmiegt sich nicht so wie erhofft an die Punkte an. Habt ihr eine Idee was ich falsch gemacht habe? Wäre nett. :) Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 09.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Der Graph, den du ermittelt hast, ist ja auch nicht Punktsymmetrisch.
Hast du eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades, fallen alle geraden Exponenten weg.
Bleiben noch f(x)=ax³+cx
Und die Bedingungen: f'(1)=0 (Glatter Anschluss) und f(1)=1 (Anschluss)
Also 0=3a+c und 1=a+c
Marius
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