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Herleitung log. Wachstum: Problem bei einem Schritt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Do 03.03.2005
Autor: hawk

Hallo,

ich bin gerade dabei die Herleitung fürs logistische Wachstum zu erklären. Nur stoße ich bei einem Schritt auf folgendes Problem:

[mm] \integral_{}^{} {k dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{G} (\integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{f(x)}} + \integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{G-f(x)}}) [/mm]

wieso ist nun das Integral von f'(x) / f(x) = ln (fx) ? Denn wenn ich ln f(x) ableite ist das doch 1 / f(x) oder nicht? Wo ist da das f'(x) geblieben?


Erst dachte ich mir dass ich es einfach hinnehmen soll, dass das Integral von f'(x) / ... gleich ln vom Nenner ist, aber wieso ist beim zweiten Integral dann - ln (G-f(x)) ?

Danke schonmal...

mfg david




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Herleitung log. Wachstum: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Do 03.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Hawk,

[willkommenmr] !!

> [mm]\integral_{}^{} {k dx} = \bruch{1}{G} (\integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{f(x)}} + \integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{G-f(x)}})[/mm]
>  
>
> wieso ist nun das Integral von f'(x) / f(x) = ln (fx) ?

Das kannst Du lösen über Substitution:
$z \ := \ f(x)$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ f'(x)$  [mm] $\gdw$ [/mm]   $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{f'(x)}$ [/mm]

Eingesetzt in unser Integral ergibt sich:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{f'(x)}{z} \ \bruch{dz}{f'(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln \left| z \right| [/mm] \ = \ [mm] \ln \left| f(x) \right| [/mm] \ + \ C$



> Denn wenn ich ln f(x) ableite ist das doch 1 / f(x) oder
> nicht? Wo ist da das f'(x) geblieben?

Bei der Ableitung von [mm] $\ln [/mm] f(x)$ mußt Du auch noch die MBKettenregel anwenden:

[mm] $\left[ \ \ln f(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{f(x)}}_{aussere \ Abl.} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \underbrace{f'(x)}_{innere \ Abl.} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}$ [/mm]


>  aber wieso ist beim zweiten Integral dann - ln (G-f(x)) ?

Da ist der Weg fast genauso, nur substituiert man hier: $t \ := \ G-f(x)$ mit $t' \ = \ -f'(x)$


Alle Klarheiten nun beseitigt?

Grüße
Loddar

Bezug
        
Bezug
Herleitung log. Wachstum: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Do 03.03.2005
Autor: hawk

Hi Loddar!

Danke für deine schnelle Antwort. Ohja die Kettenregel, da hätte ich auch drauf kommen können/müssen! Das mit der Substitution werd ich mir bei Gelegenheit nochmal genauer angucken, aber eigentlich dürfte das nun kein Problem mehr sein!


> Alle Klarheiten nun beseitigt?

Durch die gute Erklärung wurden eher die Un-Klarheiten als die Klarheiten beseitigt ;)

Bis dann David
Bezug
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