Herleitung der eulerschen Zahl < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Meine Frage ist folgende:
Die Taylorsche Formel liefert uns zur Herleitung der eulerschen Zahl die Gleichung:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/n!
Für die Herleitung der eulerschen Zahl e ist die Taylorsche Formel also unverzichtbar.
Das Problem ist also, wie ich von der Taylorschen Formel auf
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/n! kommen soll, da ich die Taylorsche Formel nicht ganz verstehe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. es gibt mehrere Moeglichkeiten e zu definieren.
1. deine hier
2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n [/mm] = e
Nun musst du sagen, was du von der Taylorreihe weisst. und was du von der e-=fkt weisst.
die e fkt kann man z. Bsp definieren, als die fkt, mit
f'(x)=f(x) und f(0)=1
Die definition braucht man eigentlich fuer die Taylorreihe.
Brauchst du das fuer ein Referat oder in welchem Zusammenhang?
Gruss leduart
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Referat trifft es nicht ganz.
Hatte vor mich diesem Thema in Form der anstehenden Facharbeit in 12/2 zu widmen.
Die Eigenschaften der e-Fkt. die du genannt hast, kenne ich.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n [/mm] = e
haben wir in der Schule bereits besprochen deswegen beziehe ich mich nur auf Punkt 1.
Von der Taylorreihe weiß ich nur sehr wenig, dass ist auch mein Problem.
Ich glaube sie sieht so aus:
[mm] \summe_{i=0}^{n}=fn(a)/x! [/mm] * [mm] (x-a)^n
[/mm]
Jedoch kann ich damit relativ wenig anfangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Referat trifft es nicht ganz.
> Hatte vor mich diesem Thema in Form der anstehenden
> Facharbeit in 12/2 zu widmen.
> Die Eigenschaften der e-Fkt. die du genannt hast, kenne
> ich.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n[/mm] = e
> haben wir in der Schule bereits besprochen deswegen beziehe
> ich mich nur auf Punkt 1.
> Von der Taylorreihe weiß ich nur sehr wenig, dass ist auch
> mein Problem.
> Ich glaube sie sieht so aus:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}=fn(a)/x![/mm] * [mm](x-a)^n[/mm]
Nicht ganz. Die Taylorreihe sieht so aus:
[mm] f(x) = \summe_{{\red{n}=0}}^{\red{\infty}} \bruch{1}{n!} f^{(n)}(a) (x-a)^n [/mm]
Sie drückt die Tatsache aus, dass man bestimmte Funktionen dadurch berechnen kann, wenn man den Funktionswert und alle Ableitungen an einer Stelle a kennt.
Das geht natürlich nicht für alle Funktionen; zunächst einmal muss die Funktion beliebig oft differenzierbar sein. (Das ist aber noch lange nicht ausreichend.)
![[]](/images/popup.gif) Hier ist ein einführender Link zum Thema Taylorreihe.
Die e-Funktion ist das Paradebeispiel: Da [mm] $(e^x)' [/mm] = [mm] e^x [/mm] $ ist, ist sie beliebig oft differenzierbar, und alle Ableitungen sind wieder die e-Funktion.
Damit wird aus der Formel oben:
[mm] e^x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} e^a (x-a)^n = e^a \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} (x-a)^n[/mm]
Diese Formel gilt für beliebige Werte von a und x.
Im Fall a=0 (also [mm] $e^a=1$) [/mm] wird daraus:
[mm] e^x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Müsste der Term nicht bei a=0 so aussehen?
$ [mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n-1}{n!} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Müsste der Term nicht bei a=0 so aussehen?
> [mm]e^x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n-1}{n!}[/mm]
Nein, wo soll denn die 1 herkommen? Außerdem stimmt die Formel für x=0 nicht, da steht links vom Gleichheitszeichen [mm] $e^0=1$, [/mm] aber rechts 0.
Für a=0 hast du:
[mm] e^x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} e^0 (x-0)^n = e^0 \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} (x-0)^n = 1* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}x^n [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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