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Herleitung Mantelfläche: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Di 25.01.2005
Autor: Ulyssus

Hallo,
mein Problem besteht darin, die Mantelfläche eines Kreiskegelstumpfes mit Hilfe der Integralrechnung herzuleiten. Soweit ich weiss, müsste das mit der Bogenlänge funktionieren. Weiss eventuel jemand Rat

•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Herleitung Mantelfläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Di 25.01.2005
Autor: Walli

Hi,

Du schaust dir an wie ein abgerollter Kegel aussieht und stellst fest, dass es ein Kreisausschnitt ist. Zunächst brauchst du eine Funktion, die dir den Radius des Kreisausschnittes an einer bestimmten Stelle des Kegels angibt. Da bietet sich der Strahlensatz an (am besten mal ne Skizze machen oder  []hier gucken):

[mm] \bruch{s(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{R}{S} [/mm]

Nun musst du die Umfangsänderung des Kreisausschnittes am Element bestimmen

dU = 2 * [mm] \pi [/mm] * s(x) dx

... und das Ganze über die Seitenkante (Radius des Kreisausschnittes der entsteht wenn man den Kegelmantel abrollt) aufsummieren.

[mm] \integral_{0}^{S} [/mm] dU
= [mm] \integral_{0}^{S} [/mm] 2 * [mm] \pi [/mm] * s(x) dx
= [mm] \integral_{0}^{S} [/mm] 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{R}{S} [/mm] x dx
= [mm] \bruch{2}{2} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{R}{S} [/mm] *  [mm] S^2 [/mm]
= [mm] \pi [/mm] * R * S

Ich hoffe das stimmt so einigermaßen ;-).

Gruß,
Walli
Bezug
                
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Herleitung Mantelfläche: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Di 25.01.2005
Autor: Ulyssus

Für den Kegel mag das stimmen, aber ich fragte nach dem Kegelstumpf, also: A= [mm] \pi [/mm] s (R+r)
Angefangen hatte ich mit: [mm] y\wurzel{1+y'^{2}} [/mm] (Bogenlänge) und für y gilt y=mx+n, wobei n=r und [mm] m=\bruch{r²}{h²} [/mm] und nach dem Einsetzen und Integrieren benutze ich für das h² im Zähler des Radikanten h²=s²-R², wobei sich dann die h's herauskürzen und auch die richtige Formel herauskommt. Nur wüsste ich gern, ob das so ok ist.

Und noch 'ne formale Frage:
Gerade bei wollte ich mir die Vorschau ansehen und dort stand, dass dieser { und jener } immer paarweise vorkommen müssen. Sie dürfen also nicht durch weitere { oder } unterbrochen werden. Ist das nicht kontraproduktiv, wenn man der jeweiligen Kennzeichnung eine Potenz und eine Fußnote geben will?
Bezug
                        
Bezug
Herleitung Mantelfläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Di 25.01.2005
Autor: informix

Hallo Ulyssus,
[willkommenmr]
>  
> Und noch 'ne formale Frage:
>  Gerade bei wollte ich mir die Vorschau ansehen und dort
> stand, dass dieser { und jener } immer paarweise vorkommen
> müssen. Sie dürfen also nicht durch weitere { oder }
> unterbrochen werden.

doch, durchaus. Aber man muss genau zählen, damit die öffnenden Klammern stets mit je einer schließenden Klammer korrespondiert.

> Ist das nicht kontraproduktiv, wenn
> man der jeweiligen Kennzeichnung eine Potenz und eine
> Fußnote geben will?
>  

du meinst: [mm] $x_{\bruch{11}{45}}^{t - \bruch{3}{10}}$ [/mm] - nicht sinnvoll, zeigt aber das Prinzip. ;-)
Du musst nur aufpassen, dass wirklich die gleiche Anzahl öffnender und shcließender Klammern gesetzt sind.

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