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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Do 28.10.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Ich versuche mich momentan an der Herleitung des Kreisumfanges. Dabei gehe ich wie folgt vor:
1.) Eine geeignete Parametrisierung eines Kreises lautet:
[mm] \vec{r}(\varphi)=\rho_{0}*cos(\varphi)\vec{e}_{x}+\rho_{0}*sin(\varphi)\vec{e}_{y}
[/mm]
2.) Ein infinitesimal kleines, orientiertes Streckenteilstück des Kreises gewinne ich aus dem Metrikkoeffizienten
[mm] d\vec{s}_{\varphi}= \vmat{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}}d\varphi\vec{e}_{\varphi}
[/mm]
Durch Auswertung des Betrages und Anwendung des Satzes von Pythagoras, erhalte ich den Ausdruck
[mm] d\vec{s}_{\varphi}= \rho_{0}\vec{e}_{\varphi}d\varphi
[/mm]
Jetzt errechne ich also den gesamten Kreisumfang mittels
[mm] U_{Kreis}=\integral_{0}^{\varphi=2\pi}{\rho_{0}\vec{e}_{\varphi}d\varphi}=2\pi\rho_{0}\vec{e}_{\varphi}.
[/mm]
Meine Frage:
Wieso erhalte ich im Ergebnis eine Orientierung, bzw. wieso bleibt dort ein Einheitsvektor stehen? Meiner Meinung nach müsste das falsch sein.
Ich vermute, dass der Einheitsvektor durch ein Skalarprodukt im Integral herausfallen sollte. Woher nehme ich dann aber den zweiten Einheitsvektor für das entsprechende Skalarprodukt? Wo habe ich möglicherweise etwas übersehen?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Do 28.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] |ds|=rd\phi [/mm] ist die Definition von Winkel (im Bogenmass).
aber wenn du schon mit Vektoren rechnen willst ist ja auch [mm] d\phi [/mm] ein Vektor mit [mm] e_{\phi} [/mm] skalar mult ist es [mm] |d\phi| [/mm] was man meist nur [mm] d\phi [/mm] schreibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo
> dass [mm]|ds|=rd\phi[/mm] ist die Definition von Winkel (im
> Bogenmass).
> aber wenn du schon mit Vektoren rechnen willst ist ja auch
> [mm]d\phi[/mm] ein Vektor mit [mm]e_{\phi}[/mm] skalar mult ist es [mm]|d\phi|[/mm]
> was man meist nur [mm]d\phi[/mm] schreibt.
> Gruss leduart
Verstehe ich das so richtig?
[mm] d\vec{s}_{\varphi}= \vmat{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}}d\varphi\vec{e}_{\varphi}
[/mm]
[mm] \gdw{ds\vec{e}_{\varphi}= \vmat{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}}d\varphi\vec{e}_{\varphi}}
[/mm]
[mm] \gdw{ds= \vmat{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}}d\varphi}
[/mm]
Danke!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 29.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nichts falsches, nur steht da j einfach nur
[mm] ds=|d\vec{s_{\phi}} [/mm] oder [mm] ds=rd\phi
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo
> ich seh nichts falsches, nur steht da j einfach nur
> [mm]ds=|d\vec{s_{\phi}}[/mm] oder [mm]ds=rd\phi[/mm]
> Gruss leduart
Okay, vielen Dank! Wenn sich die Einheitsvektoren herauskürzen, kann ich das nachfolgende Integral lösen, ohne im Ergebnis eine Richtung stehen zu haben.
Gruß, Marcel
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