Herleitung Eben Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo leute,
wir haben heute im GK die Ebene in Parameterform eingeführt,jedoch habe ich die Herleitung nicht verstanden und hoffe,dass mir jemand helfen kann.
wir haben dazu einen Karton genommen und sollten und vorstellen,dass dieser Karton eine Tischplatte darstellt.Dann sollten wir sagen,wie viele Tisschbeine dieser Karton mindestens braucht,sodass er sicher und solide steht.
Die Antwort war 3 Beine. Dann hat unser Lehrer gesagt,dass die Tischplatte ein fiktive eine Ebene sein könnte und ob wir nun eine Ahnung hätten,wie eine Ebene aufgespannt wird.
Wir sagten auch 3 Vektoren.
Und dann fängt mein Problem an. Ich weis nicht,wie ich die einzelnen Tischbeine deuten kann. Eines der Tischbeine ist ja mein Ortsvektor der Ebene und die Strecke zwischen dem Ortsvektor und den anderen beiden Vektoren bildet ja meine Spannvektoren.
Aber wie kann man das asu dem Beispiel herleiten??
Konkret: ich verstehe den Übergang vom Beispiel zur Parameterdarstellung der Ebenen nicht.
Bitte Hilffe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Di 08.06.2021 | | Autor: | chrisno |
Das mit den Tischbeinen ist deshalb schwierig, weil die normalerweise parallel stehen und daher sich schlecht als Beipiel für Ortsvektoren eignen.
Zuerst: durch drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, wird eine Ebene bestimmt.
Nimm ein Buch, lege es auf drei Finger. Die Berührpunkte der Finger legen fest, wie gerade oder schief das Buch liegt. Das Buch ist stellvertretend für die Ebene.
Die drei Punkte werden durch die drei Ortsvektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ [/mm] gegeben.
Einer, zum Beispiel [mm] $\vec{b}$ [/mm] wird als Stützvektor genommen. Der zweite wird verwendet, um einen Richtungsvektor [mm] $\vec{v}$, [/mm] wie bei einer Geraden zu berechnen: [mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}$.
[/mm]
Mit den beiden hast du eine Gerade, die in der Ebene liegt. Mit dem letzten Ortsvektor und dem Stützvektor bekommst du noch einen Richtungsvektor für eine Gerade, die in der Ebene liegt und in eine andere Richtung zeigt: [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \vec{b}$.
[/mm]
Nun hast die Parameterform der Ebene: $ [mm] \vec{b} [/mm] + r [mm] \cdot \vec{u} [/mm] + s [mm] \cdot \vec{v} [/mm] $.
Ist s Null, kannst du mit r die eine Gerade "ablaufen". Entsprechend ist es für r = 0.
Sind beide nicht Null, kannst zu allen anderen Punkten der Ebene kommen.
Ich nenne diese beiden Richtungsvektoren lieber Spannvektoren, weil sie die Ebene aufspannen.
Ich bin nicht sicher, ob ich so deine Frage beantwortet habe.
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Also ich fasse mal zusammen.
Wir haben die Tischplatte,die stellvertretend für eine Ebene steht. Dabei steht die tischplatte sicher,wenn sie mindestens auf drei Beinen steht.
Das heißt für uns,dass die Ebene aus drei Punkten (A,B,C) erzeugt werden kann.
Da die Lage der Ebene in der Dimension verschoben werden kann,muss also es einen Ortsvektor geben,der Vektor A.
Da außerdem die Ebene aufgespannt werden muss,kann man nun mit Hilfe der Vektoren B & C,die beinen Spannvektoren r* AB und s* AC bilden.
So erhält man A+r*AB+s*AC
so gut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 08.06.2021 | | Autor: | fred97 |
> Also ich fasse mal zusammen.
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> Wir haben die Tischplatte,die stellvertretend für eine
> Ebene steht. Dabei steht die tischplatte sicher,wenn sie
> mindestens auf drei Beinen steht.
> Das heißt für uns,dass die Ebene aus drei Punkten
> (A,B,C) erzeugt werden kann.
> Da die Lage der Ebene in der Dimension verschoben werden
> kann,muss also es einen Ortsvektor geben,der Vektor A.
> Da außerdem die Ebene aufgespannt werden muss,kann man
> nun mit Hilfe der Vektoren B & C,die beinen Spannvektoren
> r* AB und s* AC bilden.
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> So erhält man A+r*AB+s*AC
>
> so gut?
Hallo Heribert,
Ja, gut so.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Habe in der Skizze die Pfeilspitzen aus Zeitgründen weggelassen.
Von A aus kannst du jeden Punkt P durch eine Linearkombination der beiden Vektoren u und v erreichen, hier z.B. durch (ca.) 0,4 u + 0,9 v, falls u und v nicht (anti-)parallel sind. Somit kannst du jeden Vektor x, der vom Ursprung O in die Ebene führt, über den "Umweg" x=a+ru + sv erreichen. Wenn sich x so schreiben lässt, führt x in die Ebene, sonst nicht.
Achtung: Wenn A, B und C auf einer Geraden liegen, kommst du von A aus nicht mit ru + sv von dieser Linie herunter und bleibst auf der Geraden. Die Gleichung beschreibt auch nur eine Gerade. Allerdings kann a parallel zu u ODER v sein, dann geht die Ebene durch den Ursprung.
Beispiele:
[mm] \vektor{1\\ 2\\3}+r*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{3\\ 4\\5}= [/mm] Ebene, da u nicht p. zu v.
[mm] \vektor{1\\ 2\\3}+r*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{1\\ 1\\2}= [/mm] Gerade, da u p. zu v [mm] =\vektor{1\\ 2\\3}+2r*\vektor{1\\ 1\\2}+s*\vektor{1\\ 1\\2}=\vektor{1\\ 2\\3}+(2r+s)*\vektor{1\\ 1\\2}=\vektor{1\\ 2\\3}+(k)*\vektor{1\\ 1\\2} [/mm] (Geradengleichung)
[mm] \vektor{3\\ 3\\6}+r*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{3\\ 4\\5}= [/mm] Ebene, da u nicht p. zu v. [mm] =1,5*\vektor{2\\ 2\\4}+r*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{3\\ 4\\5}= (1,5+r)*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{3\\ 4\\5}= \vektor{0\\ 0\\0}+k*\vektor{2\\ 2\\4}+s*\vektor{3\\ 4\\5}= [/mm] Ebene durch den Ursprung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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