Herangehensweise bei Ungleich. < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Fr 30.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
erhalten nun häufig Aufgaben vom Typ a<b<c, dabei alle Bestandteile mit verschiedenen x, x² usw. und dazu noch Beträge.
Ich teile die Sachen immer zuerst in zwei Gleichungen und dann noch in endlose Fälle auf, komm dann nachher auf locker 10 Bedingungen, verknüpft mit oder und und. Im Endeffekt stellt sich dann immer heraus, dass die meisten der Bedingungen sich gegenseitig enthalten bzw. Widersprüche ergeben und so bilden meist nur zwei Gleichungen die letztendliche Lösungsmenge.
Bsp.:
[mm] {0}\le{\bruch{x-|x-4|}{x-1}}\le{x-3}
[/mm]
Dafür habe ich mindestens ne halbe Stunde und 3 kleingeschriebene A4-Seiten gebraucht.
Wie würdet ihr an sowas herangehen?
Danke!
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Hallo [mm] oli_k,
[/mm]
ist das wirklich ein gutes Beispiel?
Hier brauchst Du doch nur eine Fallunterscheidung für [mm] x-4\ge{0} [/mm] und [mm] \a{}x-4<0.
[/mm]
Na schön, vorher solltest Du vielleicht mit (x-1) multiplizieren und dabei den Fall x=1 gesondert bedenken; das ist wohl unumgänglich.
Dann bleiben Dir noch zwei Fälle mit je zwei Ungleichungen, davon jeweils eine mit einer quadratischen Gleichung und also einer weiteren Fallunterscheidung.
Mit weniger Aufwand geht es m.E. aber auch nicht. Dennoch sehe ich nicht, wie Du dafür drei kleingeschriebene Seiten brauchst, es sei denn im Format DIN A6.
Vielleicht treibst Du doch irgendwo zuviel Aufwand. Wenn Du magst, rechne doch diese Aufgabe einmal vor. Das ist dann einmal viel Schreibarbeit (wenn Deine Umfangsangabe nicht übertrieben war), aber vielleicht finden wir dann heraus, wo Du sparen kannst.
Ohne weitere Angaben jedenfalls sehe ich nicht, wo das Problem eigentlich liegt.
Stimmen denn Deine Lösungen? Das wäre doch schon ein Indiz für oder gegen Deine Vorgehensweise.
lg
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:12 Sa 31.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Huch, wollte tatsächlich eigentlich eine andere Aufgabe abtippen. Aber auch bei der angegebenen muss ich doch später noch ordentlich fallunterscheiden, auch hier kam ich auf etwa 1,5 Seiten - ich rechne solange, bis ich am Ende folgendes habe:
[mm] \{{\bruch{(x-2-\wurzel{5})(x-2+\wurzel{5})}{x-1}}\ge{0} \wedge {x}\ge{4}\} \vee \{{\bruch{(x-3-\wurzel{2})(x-3+\wurzel{2})}{x-1}\ge{0} \wedge {x}\le{4}\}}
[/mm]
Jetzt müssen jeweils die Vorzeichen der Zähler und Nenner beachtet werden, also gibt es pro Bruch zwei Bedingungen, jeweils Z1 und N1 größer gleich 0 ODER Z1 und N1 kleiner gleich 0 UND x größer gleich 4, selbiges für Z2 und N2 und x kleiner gleich 4. Somit bin ich ab jetzt pro Äquivalenzumformung bei 4 Zeilen zu schreiben mit jeweils minimalen Änderungen.
Im Endeffekt bleibt nur x größer gleich 2 plus Wurzel von 5 stehen, somit waren ein Großteil der Bedingungen quasi umsonst. Sowas kann man im Voraus leider nicht erahnen, oder?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Wäre super, wenn du nochmal eben drübergucken könntest :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] {0}\le{\bruch{x-|x-4|}{x-1}}\le{x-3} [/mm] $ folgt insbesondere: x-3 [mm] \ge [/mm] 0 , also
$x [mm] \ge [/mm] 3$
Fall 1: x [mm] \ge [/mm] 4: Dann ist (nachrechnen):
$ [mm] {0}\le{\bruch{x-|x-4|}{x-1}}\le{x-3} \gdw x^2-4x-1 \ge [/mm] 0$
Wegen x [mm] \ge [/mm] 4 ist das letzte Ungl. gleichbedeutend mit x [mm] \ge 2+\wurzel{5} [/mm]
Fall 2: 3 [mm] \le [/mm] x < 4: Dann ist (nachrechnen):
$ [mm] {0}\le{\bruch{x-|x-4|}{x-1}}\le{x-3} \gdw x^2-6x+7 \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \le [/mm] 3- [mm] \wurzel{2}$ [/mm] oder $x [mm] \ge 3+\wurzel{2}) [/mm] $
Wegen 3- [mm] \wurzel{2} [/mm] < 3 und [mm] 3+\wurzel{2} [/mm] >4, gibt es im 2. Fall keine Lösungen
Fazit: $ [mm] {0}\le{\bruch{x-|x-4|}{x-1}}\le{x-3} \gdw [/mm] x [mm] \ge 2+\wurzel{5} [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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