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Haushaltsnutzenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:18 Mo 18.02.2008
Autor: MissChilli

Aufgabe
Gegeben sei ein Haushalt mit einer Nutzenfunktion für zwei Perioden (Gegenwart und Zukunft):

[mm] U(c_{1},c_{2}) [/mm] = [mm] c_{1}^\alpha c_{2}^\beta [/mm]

wobei [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0, [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 1

Formulieren Sie das Entscheidungsproblem des Haushalts.
Ermitteln Sie die "heutige" Güternachfragefunktion und die Sparfunktion.

Hallo,

ich bin langsam am verzweifeln. Ich habe die Lösung zu der Aufgabe, aber ich komme einfach nicht drauf.

Das Entscheidungsproblem muesste das folgende sein:

max. [mm] U(c_{1},c_{2}) [/mm] = [mm] c_{1}^\alpha c_{2}^\beta [/mm] unter der NB: [mm] c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}= y_{1}+ \bruch{y_{2}}{(1+r)} [/mm]

[mm] L(c_{1},c_{2}, \lambda) [/mm] =  [mm] c_{1}^\alpha c_{2}^\beta [/mm] + [mm] \lambda (c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}- y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)}) [/mm]

meine Bedingungen erster Ordnung:

1) [mm] \bruch{\partial L}{\partial c_{1}} [/mm] = [mm] \alpha c_{1}^{\alpha-1} c_{2}^\beta [/mm] + [mm] \lambda= [/mm] 0

2) [mm] \bruch{\partial L}{\partial c_{2}} [/mm] = [mm] \beta c_{1}^\alpha c_{2}^{\beta-1} +\bruch{\lambda}{1+r} [/mm] = 0

3) [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = [mm] c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}- y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)} [/mm] = 0

aus 1 und 2):
[mm] \bruch{\alpha c_{1}^{\alpha-1} c_{2}^\beta }{\beta c_{1}^\alpha c_{2}^{\beta-1}} [/mm] = [mm] \bruch{-\lambda}{\bruch{-\lambda}{1+r}} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{\alpha c_{2}}{\beta c_{1} } [/mm] = (1+r)

[mm] \Rightarrow c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\beta c_{1} (1+r)}{\alpha} [/mm]

einsetzen in 3)

[mm] c_{1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{\beta c_{1} (1+r)}{\alpha} }{1+r} [/mm] - [mm] y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)} [/mm] = 0

[mm] \gdw c_{1}(1+r) [/mm] + [mm] c_{1}(1+r) \bruch{\beta}{\alpha} [/mm] = [mm] y_{1}(1+r) [/mm] + [mm] y_{2} [/mm]

..und jetzt weiss ich nicht, wie ich auf [mm] c_{1}^* [/mm] komme...
und wie man auf folgende Lösungen kommen soll auch nicht:

[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \alpha [y_{1} [/mm] + [mm] \bruch{y_{2}}{1+r}] [/mm]

s = [mm] \beta y_{1} [/mm] - [mm] \bruch{\alpha y_{2}}{1+r} [/mm]  


wie kann denn das beta wegfallen in der Güternachfragefunktion?
Wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, ich habs ein paar Mal gerechnet und komme nicht auf das Ergebnis. Vielen Dank! :)



        
Bezug
Haushaltsnutzenfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 So 24.02.2008
Autor: Analytiker

Hi du,

> Das Entscheidungsproblem muesste das folgende sein:
>  
> max. [mm]U(c_{1},c_{2})[/mm] = [mm]c_{1}^\alpha c_{2}^\beta[/mm] unter der
> NB: [mm]c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}= y_{1}+ \bruch{y_{2}}{(1+r)}[/mm]

[ok]
  

> [mm]L(c_{1},c_{2}, \lambda)[/mm] =  [mm]c_{1}^\alpha c_{2}^\beta[/mm] +
> [mm]\lambda (c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}- y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)})[/mm]

[ok]
  

> 1) [mm]\bruch{\partial L}{\partial c_{1}}[/mm] = [mm]\alpha c_{1}^{\alpha-1} c_{2}^\beta[/mm]
> + [mm]\lambda=[/mm] 0

[ok]
  

> 2) [mm]\bruch{\partial L}{\partial c_{2}}[/mm] = [mm]\beta c_{1}^\alpha c_{2}^{\beta-1} +\bruch{\lambda}{1+r}[/mm]
> = 0

[ok]

> 3) [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}[/mm] = [mm]c_{1}+ \bruch{c_{2}}{(1+r)}- y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)}[/mm]
> = 0

[ok]
  

> aus 1 und 2):
> [mm]\bruch{\alpha c_{1}^{\alpha-1} c_{2}^\beta }{\beta c_{1}^\alpha c_{2}^{\beta-1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-\lambda}{\bruch{-\lambda}{1+r}}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{\alpha c_{2}}{\beta c_{1} }[/mm] = (1+r)
>  
> [mm]\Rightarrow c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{\beta c_{1} (1+r)}{\alpha}[/mm]

[ok]
  

> [mm]c_{1}[/mm] + [mm]\bruch{\bruch{\beta c_{1} (1+r)}{\alpha} }{1+r}[/mm] -
> [mm]y_{1}- \bruch{y_{2}}{(1+r)}[/mm] = 0

[ok]
  

> [mm]\gdw c_{1}(1+r)[/mm] + [mm]c_{1}(1+r) \bruch{\beta}{\alpha}[/mm] =
> [mm]y_{1}(1+r)[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]

[ok]

> ..und jetzt weiss ich nicht, wie ich auf [mm]c_{1}^*[/mm] komme...
>  und wie man auf folgende Lösungen kommen soll auch nicht:

Meinst du jetzt einfach nach c_[1] umformen, oder wie? handelt es sich bei dir jetzt um das rein algebraische Problem, oder um das ökonomische Verstädnisproblem bei dieser Umformung?

> wie kann denn das beta wegfallen in der Güternachfragefunktion?

Dann, wenn folgende Sonderallokation gilt: $ [mm] \alpha [/mm] = 1 $ und  [mm] $\beta [/mm] = 0 $
Somit fällt beta weg und ist zu vernachlässigen. ;-)

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

Bezug
                
Bezug
Haushaltsnutzenfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Sa 01.03.2008
Autor: MissChilli

Hallo Analytiker,

besten Dank für deine Antwort! Habs glaube ich verstanden :)

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